Основы вероятностей и теория меры 7. Минимальные, σ-, δ-кольца. Борелевская σ-алгебра. Мера

Основы вероятностей и теория меры. МФТИ, Физтех-школа прикладной математики и информатики

Дата лекции: 15.10.2022
Лектор: Эрлих Иван Генрихович
Монтажер: Голицын Сергей
Оператор: Вашкевич Егор

00:00:00 — начало; лемма о дизъюнктном представлении полукольца
00:02:01 — напоминание определения полукольца
00:03:27 — возвращение к лемме
00:10:48 — теорема о структуре минимального кольца (всевозможные конечные дизъюнктные объединения)
00:15:06 — напоминание определения кольца
00:15:53 — возвращение к теореме
00:23:00 — лемма о представлении полукольца
00:29:42 — определение сигма- и дельта-кольца
00:31:42 — определение алгебры; исправление предыдущего определения
00:33:27 — утверждение о связи сигма- и дельта-алгебр и колец (алгебры равносильны, кольца — только в одну сторону)
00:35:54 — доказательство импликации вправо для колец
00:39:26 — пример неверности обратной импликации
00:41:32 — доказательство импликации влево для алгебр
00:43:50 — определение наименьшей сигма-алгебры
00:47:53 — определение Борелевской сигма-алгебры на R^n (наименьшая, содержащая все открытые множества)
00:50:43 — конечные меры на системах множеств; определение меры на полукольце
00:53:57 — определение сигма-аддитивной меры на полукольце
00:59:15 — пример полукольца
01:01:18 — теорема: промежуток — сигма-аддитивен
01:10:12 — лемма (неравенство меры по отношению к сумме мер кусочков)
01:13:19 — следствие (неравенство на счетном множестве)

[epuremath]

доказательства, что сигма кольцо - это дельта кольцо, а дельта-алгебра - это сигма-алгебра - в каком то смысле обобщение логики де моргана. если бы у нас 1 (в смысле дополнение пустого множества) обязательно была в кольце, то мы бы просто выразили пересечения через объединения по де-моргану. А за неимением 1, используем то что у нас есть под рукой, например какое-нибудь E. Короче, кольцо замкнуто относительно всего, кроме дополнения, поэтому приходится изощряться.
Мораль в том, что в формуле де-моргана вместо 1 (считая, что (не A) = 1-A) можно использовать что нибудь в чём сидит искомый результат - в случае пересечения, пересечение сидит в любом элементе пересечения. А любое объединение сидит только в E

[epuremath]

в первой лемме не пойму, разве нельзя сделать шаг индукции проще так: Ak - это элемент S, значит его можно добить до A дизьюнктным объединением UTi, при этом очевидно, дополнение всех ашек до A = ((UTi) пересечение (UBj)), и по дистрибутивности получаем что оно равно U{ Ti пересечение Bj | по всем i, j}, где все элементы в полукольце. Одним словом, зачем нам измельчать Ak (и объединять дополнения этих измельчений), если можно взять его дополнения и пересечь их с дополнениями Bj, все на все? Большинство этих пересечений будут пустыми, но что с того?