LÖSUNG: Ist 0,9999... gleich 1? | Math Intuition

Hier diskutiere ich alle vorgeschlagenen Lösungen zur Frage, ob Null Komma Periode 9 das gleiche ist wie die Zahl 1.

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Meine Videokurse zur Klausurvorbereitung:

Mathematisch beweisen lernen:

Für Hochschullehrende:

#Periode

[PopKa]

Finde es lustig, dass ich vor einem Jahr exakt das selbe Video geschaut habe und einfach nur Bahnhof verstanden habe und inzwischen mit der Analysis I Vorlesungen alles ziemlich einfach und plausibel finde . Das sind die Momente in denen Mathe Spaß macht :D

[a.rebeih]

9:24 "Du musst mir an der Stelle glauben..." Ein Satz der in Vorlesungen verboten ist xD

[geraldnyegaard]

[ mein 2. Kommentar zu diesem Thema ]
Lieber Markus, und liebe Kommentarverfasser! Ihr seid einfach klasse!

Warum? Weil ich durch Euch verstanden habe, dass 0, 999... doch gleich 1 ist!

Woher die Einsicht?

Erst vor kurzem bin ich auf dieses Thema gestoßen. Habe mir ein paar Videos dazu angesehen, wie auch dieses hier, habe oberflächlich(!) ein paar Kommentare gelesen und endlich selbst einen Kommentar dazu geschrieben. Danach habe ich mir mehrere Kommentare zu diesem Video gründlicher durchgelesen, dann nochmal etwas über unendliche Reihen in einem Mathematiklexikon gelesen und gedacht, es war also Leonhard Euler, der uns in dieser Angelegenheit zu Babyloniern gemacht hat (siehe meinen früheren Kommentar)!

Dann die Einsicht: Nein, hat Euler doch gar nicht! Wir verfahren weder wie die alten Babylonier, noch ist die "Gleichung" 0, 999.... = 1 falsch!

Was ich damit durch Euch alleine über unendliche konvergierende Reihen gelernt habe, ist unbezahlbar!

Meinen früheren Kommentar also löschen? Nein! Dennn ...

... erstens will ich den Kommentar gerne als eine Art Dokument in einem Lernprozess stehen lassen, und ...

... zweitens, denke ich, habe ich eine Pointe mit dem, was ich über die Eigenart der Zahlen wie 0, 999... geschrieben habe, jene Eigenart, die so manchen Mathematikern Kopfzerbrechen bereiten (Existens der hyperreelle Zahlen?). Deshalb habe ich oben das Wort Gleichung in Anführungszeichen gesetzt.

Die Begründung: Zahlen wie 0, 999... (Dezimalzahlen unendlich periode 9) sind weder rational noch irrational (siehe meinen früheren Kommentar), ihr fehlen sämtliche Eigenschaften dieser Zahlen, sie können lediglich, wie alle anderen Dezimalzahlen als eine Partialsummenzerlegung einer Reihe verstanden werden. Und das ist die einzige Eigenschaft, die dieser Zahl erhalten bleibt. Das heißt als eigentliche Zahl im Sinne als mathematisches Objekt verliert sie ihre Existens. Wir dürfen mit ihr in der Darstellung einer Dezimalzahl keine Rechenoperationen durchführen.

Was wiederum bedeutet, dass das Beweisverfahren, bei dem wir 0, 999... mit einer Zehnerpotenz multiplizieren, sie dann von diesem Produkt subtrahieren, um uns der störenden periodischen Dezimalstellen zu entledigen, damit seine Gültigkeit verliert.

Hingegen bleibt der Beweis über die Summe einer unendlichen, konvergierenden geometrischen Reihe (siehe Video Beweis 2.) weiterhin gültig, alleine dadurch, weil hier die 0, 999... als Partialsummenzerlegung einer unendlichen, konvergierenden Reihe interpretiert wird.

Wenn also wieder jemand behauptet, dass 0, 999... gleich 1 ist, hat er volkommen recht, muss aber präzisieren, dass 0, 999... lediglich als Dezimalzahlendarstellung einer Partialsummenzerlegung einer unendlichen Reihe anzusehen ist, deren Wert 1 ist.

[nominativ]

Schön, dass sich jemand solchen Themen widmet. :)

[singingblueberry]

Sehr schön erklärt :) Endlich mal jemand, der nicht einfach nur mit der Begründung
0, 333...=1/3 kommt.
Bis vor kurzem fand ich alle Beweise, die ich für dieses Problem gehört habe, etwas fragwürdig und abstrakt, weil 0, 9999... immer wie eine normale Zahl behandelt wurde. So auch bei deinem letzten Beweis: Woher willst du wissen, dass
10 * 0, 999... wirklich 9, 999... ist? Es scheint offensichtlich: Man muss einfach das Komma verschieben. Aber dadurch fällt von den unendlich vielen Neunen doch am Ende eine weg! Und wer sagt, dass ∞-1 Neunen immer noch ∞ Neunen sind? Unendlich ist keine reelle Zahl, mit der wir einfach auf diese Weise rechnen können.
Aber den Beweis mit dem eindeutigen Grenzwert fand ich sehr gut und überzeugend ;)

[horris]

Ich würde sagen beides ist richtig und es kommt auf dem Faktor Zeit an
0, 999 = 1 (ohne Zeit) - die Zahl wird unendlich lang dargestellt und im Exakt dem selben Zeitraum aufgerundet und entspricht somit 1
0, 999 < 1 (mit Zeit) - die Zahl wird unendlich lang dargestellt, kann aber nie 1 sein weil es unendlich lang dauert bis die Zahl dargestellt wird
Also beides richtig je nach dem ob man die Zeiteinheit mit einberechnet - Unendlich ist sowohl Größe als auch Zeit.
Also müsste die Darstellung bei 2 eigentlich so sein 0, 999(t) < 1(t) [t=time]

[g-man]

Tolle Idee! wenn in Mathe etwas fast gleich ist wird halt so getrickst bis es passt. lol
Aber ich Denke einmal da könnte man sich in der Mathematik ruhig einigen, dass es 1 ist, und fertig auch ohne es Umständlich zu beweisen.
Immerhin reden wir von unendlich also sprich das mit der 999 hört nie auf. Schon allein dass wir uns die Unendlichkeit gar nicht vorstellen können rechtfertigt es, es als =1 zu übernehmen.

[amkod.]

Beim Grenzwert bei 8:10 wäre es nicht genauso richtig zu sagen das 2 oder 10 ein Grenzwert ist nur halt ungenau weshalb 0.9... = zb 2 ist?

[chrismann]

Hey, ich habe mich gefragt wie das aussieht mit dem Intervall [0, 1). Die 1 liegt ja nicht drin, also 0.999... dann auch nicht?

[jensegal]

Zwei Probleme wurden nicht angesprochen.
1. Mathematik arbeitet mit begrenzter Unendlichkeit.
2. 0, 9 Periode ist nicht durch Division beliebiger natürlicher Zahlen erreichbar, darf aber mit jeder Zahl multipliziert werden.
Hierbei entsteht ein mathematisches Paradoxon.
n:n ist ungleich 0, 9 Periode.
Zum Beispiel ist n:9 oder 9:n immer ungleich 0, 9 Periode.
Aber 0, 9 Periode darf mit 9 multipliziert werden, obwohl n:9 niemals 0, 9 Periode.
0, 9 Periode ist durch Division und anschliessender Multiplikation erreichbar:
1/3*3
Eben nicht durch bloße Division.

0, 9 Periode ist nicht gleich 1.
1 ist durch Division erreichbar.
1 ist kein mathematisches Paradoxon.

Ich drehe den Spiess mal um.
1/unendlich= >0
Wenn ich 1 Apfel unter unendlich vielen Leuten aufteilen will, dann bekommt jeder ein Stück größer als Null.
Es ist genau 0, 0 Periode gefolgt von 1.
1 - 0, 0 Periode gefolgt von einer 1= 0, 9 Periode.
0, 0 Periode gefolgt von einer 1 ist mathematischer Nonsens.
Unendlich ist kein mathematischer Wert, wenn er es wäre, ergebe Unendlich - 1 ein Wert < unendlich.
Wenn dieser Wert ermittelt werden könnte, wäre unendlich definierbar.
Unendlich ist aber keine definierbare Größe.

Wenn 0, 0 Periode gefolgt von einer 1 nicht mathematischer Nonsens wäre, wäre es die kleinste unteilbare Zahl der Mathematik.

Mit ihrem Rechenweg beweisen sie, daß 0, 9 Periode absolut 0, 9 Periode ist.
Nach wie vielen 9 nach dem Komma könnte man denn sagen: "Oh, jetzt ist es nicht mehr die Periode 0, 9, jetzt ist es glatt 1"?
Das ginge nur, wenn man die "letzte" 9 nach der unendlichen 9 anhängen wollte.
Unmöglich.
Man kann sich nicht dem "Ende der Unendlichkeit" annähern.
Man kann sich der 1 annähern, aber niemals erreichen.

Wofür sollte "unendlich -1" gut sein?
Zur Veranschaulichung:
9/10=0, 9
99/100=0, 99
999/1000=0, 999
9999/10000=0, 9999

Die einstellige Zahl 9 wird durch die zweistellige Zahl 10 geteilt.
Die zweistellige Zahl 99 wird durch die dreistellige Zahl 100 geteilt.
Und so weiter.
0, 9 Periode erhält man, wenn eine Zahl, mit einer Stellenzahl unendlich -1, also durch eine Zahl teilt, die eine absolut unendliche Stellenzahl aufweist, teilt, in diesem Fall
Unendlich -1/unendlich.
Absolut unmöglich, da "unendlich -1" nicht definierbar.

Bei ihrer Rechnung würde man vor dem Problem stehen, daß zu keinem Zeitpunkt 9* 1/unendlichstel erreicht wird.
Das Ergebnis wäre 0, 0 Periode gefolgt von 9.
Unendlich steht für "nicht erreichbar", eben ohne Ende.
Ihr Rechenweg benötigt unendlich viele Rechenschritte und führt zu keinem vollständigen Endergebnis.
Und es wäre auch ganz sicher nicht 1.

Wenn zwei Zahlen ihrem Wesen nach vollkommen verschieden, dann kann ich nicht behaupten, sie wären gleich.
Und genau das passiert, wenn 0, 9 Periode gleich 1 sein soll.

Im Übrigen unterliegen alle Zahlen, deren Nachkommastellen Periode 9 lauten, den gleichen Bedingungen wie 0, 9 Periode.
3*9 = 27
1) 27/10 = 2, 7
2) 27/100 = 0, 27
3) 27/1000 = 0, 027
Addiert man nun diese 3 Ergebnisse, so erhält man 2, 997.
Die 7 am Ende bleibt erhalten, egal wie lang der Rechenweg wird.

8*9 = 72
1) 72/10 = 7, 2
2) 72/100 = 0, 72
3) 72/1000 = 0, 072
Addiert man nun diese 3 Ergebnisse, so erhält man 7, 992
Die 2 am Ende bleibt erhalten, egal wie lang der Rechenweg wird.

Die Verzehnfachung des Divisors bei jedem neuen Rechenschritt sorgt dafür, daß die letzte Nachkommastelle durch anschliessende Addition auf 9 erhöht wird.
Die Quersumme ist (Komma vernachlässigt) zu jeder Zeit 9.
Ein Vielfaches von 9 ist immer Quersumme 9.

72/10 = 7, 2
72/10² = 0, 72
72/10³ = 0, 072
Der Exponent steigt bei jedem Rechenschritt um 1.

Im Grunde genommen beweisen sie nur die Eigenschaft der Zahl 9.

2*9 enthält das zu erwartene Ergebnis: 2
2*9/10 = 1, 8
Damit kommt man nicht mehr zum Ursprung 2 zurück, das Gesamtergebnis ist im weiteren Rechenweg immer <2.
2 ist eine Behauptung, die hier nicht aufrecht erhalten werden kann.
Da die Behauptung der Ursprung aller Rechenschritte, wäre das Ergebnis jenes, daß 2 in Wirklichkeit 1, 9Periode gefolgt von 8 ist.
Mathematische Kausalität.
Sie erklären die Ursache zur Wirkung. Mathematik ad adsurdum.
Wenn ich in diesem Beispiel beweisen wollte, daß 1, 9 Periode gleich 2 ist, müsste die Rechnung mit 1, 9 Periode beginnen und am Ende hinter dem Gleichheitszeichen eine erwiesene 2 stehen.
Das angeführte Beispiel enthält aber die Zahl 2 vor dem Gleichheitszeichen, am Ende steht 1, 9 Periode.
Damit habe ich "bewiesen", daß 2 tatsächlich 1, 9 Periode ist.
Ursache 2, Wirkung 1, 9 Periode.
Für ihren Rechenweg bedeutet das:
1*9/10 = 0, 9
Der Faktor 1 muss nicht angeführt werden, weil Faktor 1 das Produkt nicht verändert.
Führt man aber Faktor 1 zu Felde, so sieht man, daß 1=0, 9 Periode.
Ursache 1, Wirkung 0, 9 Periode.
Das dem so ist, zeigen die weiteren oben aufgeführten Beispiele:
Ursache 3, Wirkung 2, 9 Periode.
Ursache 8, Wirkung 7, 9 Periode.

Beispiel Ursache-Wirkung
1. Ursache: 1
2. Ursache: Multiplikation
3. Ursache: 9
4. Ursache: Division
5. Ursache: 10
Wirkung: 0, 9
Im weiteren Verlauf des Rechenweges gibt es noch die 6.Ursache namens Addition.
Sie behaupten, entgegen der Logik ihres Rechenwegs, 0, 9 Periode wäre die Ursache, deren Wirkung 1 wäre.
Sie führen mit ihrem Rechenweg ihre eigene Behauptung ad adsurdum.
Um zur 1000. Nachkommastelle zu gelangen, muss der Rechenweg 1000 Mal beschritten werden, wobei bei jedem Durchgang eine Ursache verändert wird.
Die Ursache Addition kommt dabei 999 Mal zum Einsatz, um 1000 verschiedene Wirkungen zu einer einzigen Wirkung zu vereinen.

Ich ersetze mal 9 durch 8.
8*8 = 64
64/10 = 6, 4
64/10²= 0, 64
64/10³= 0, 064
Was kann ich damit beweisen?
Das 7, 1 Periode in Wirklichkeit 8 ist?
Oder daß 8 in Wirklichkeit 7, 1 Periode?
Schön, daß man sich so gut wie immer alles so hinrechnen kann, wie man es braucht.

Mathematisch begrenzte Unendlichkeit:
Ihr Rechenweg enthält das Symbol, eine umgekippte 8, für unendlich.
Es gibt aber eine "erste" 9 nach dem Komma.
Ein Beispiel zur Veranschaulichung.
Sie gehen ziellos umher und plötzlich kreuzt ein Band ihren Weg.
An der Stelle, an der sie auf dieses Band treffen, steht: "73. 9".
Sie gehen einen Schritt nach links und sehen nun, daß dort auf dem Band "72. 9" steht.
Wenn sie also nach links am Band entlang gehen, gelangen sie zur ersten 9.
Hätten sie sich dazu entschieden, ihren Weg nach rechts einzuschlagen, lägen unendlich viele 9 vor ihnen.
Diese Unendlichkeit ist einseitig begrenzt.
Eine unbegrenzte Unendlichkeit ist richtungsunabhängig.
Bei einer unbegrenzten Unendlichkeit hätte nicht angegeben werden können, auf die wievielte 9 sie getroffen sind.
Die "erste" 9 nach dem Komma bedeutet, daß dort Unendlichkeit beginnt und auch gleichzeitig endet.
Ein Paradoxon.
Begrenzte Unendlichkeit ist relativ unendlich, hingegen unbegrenzte Unendlichkeit absolut unendlich ist.
Auch eine relative Unendlichkeit lässt sich nicht aufrunden.
Was im vorliegendem Fall bedeuten würde, aus der relativen Unendlichkeit 0, 9 Periode wirde durch Aufrunden die mathematisch absolut begrenzte Zahl 1.
Wenn man eine relative Unendlichkeit noch ein bisschen vergrößert, erhält man ein endliches Ganzes.
Das verstößt gegen die Prinzipien der Unendlickeit.

Unendlichkeit bietet objektiv keine Grenzwertigkeit.
Subjektiv betrachtet ist Unendlichkeit immer begrenzt.
Wie "groß" Unendlichkeit ist, hängt von der Vorstellungskraft des Betrachtes ab, zumal Unendlichkeit weder mathematisch noch physikalisch beweisbar ist.

[georghuber]

5:12 Die Eins erscheint doch nie wenn davor unendlich viele Nullen stehen

[g-man]

So eine Zahl wie 0, 9 Periode dürfte es in der Mathematik gar nicht geben!
Diese Zahl entsteht soweit ich das verstehe überwiegend (ich denke sogar ausschließlich) aus dem Teilen einer Zahl und dann wieder durch das zusammensetzen der Zahl.
z.B. ich teile einen Kuchen in 3 teile bekomme 3 mal 0, 3 Periode Kuchen setze ich den Kuchen wieder zusammen erhalte ich die 0, 9 Periode, was vollkommen falsch ist! Denn ist habe Exakt, bis auf das Atom genau, wieder einen ganzen Kuchen(für Klugscheißer wenn ich Ihn Mathematisch auseinander schneide und zusammen setze (ansonsten wenn ich ihn wirklich auseinander schneide fallen Krümel weg))

[dennisliebig]

Prof Weitz der HAW hat ein einigermassen ausfuehrliches Video zum Thema gemacht. Die Unendlichkeit kann man eigentlich nicht ohne genaue Definition der Zahlenraeume ( Hyperreelle Zahlen muessen naemlich ausgenommen bleiben ) und auch nur mit der Akzeptanz der Konvergenz als solcher als Ersetzung annehmen. Denn es passiert ein Fehler in der Unendlichkeit, der zwar bedeutungslos sein kann, aber dies in Bezug auf den Begriff "Groesse" bzgl. dem man philosophieren kann. Meine Meinung: Jedenfalls ist immer kleiner als 1 egal wie viele Nachkommstellen man sich denkt, also ist es nicht exakt das gleiche wie die 1 selbst. Aber man ersetzt es eben einfach gegen 1 weil der Unterschied ( infinitesimal ) klein ist und " keine Masse hat ". Der Rechenprozess braucht aber mehr Energie als eine 1, was auch (Turing-Maschine) einen Unterschied ausmacht. Eigentlich passiert eine Idealisierung wenn man den Grenzwert benutzt, die auf die Bevorzugung von Schnelligkeit und Energieersparnis hinauslaeuft. Der Fehler der dabei gemacht wird ist in fast jedem Fall der Anwendung bedeutungslos. Evtl. Aber nicht immer ! Z.B. bei holographischer Gravitation ??? Das würde dann bedeuten dass die Konvergenzkriterien der obigen im Video gezeigten Reihendarstellung nicht erfuellt sind, weil der Zahlenraum bzw. das erfassen des Kontinuums nicht perfekt funktioniert ( Methamatik und Physik nicht so einfach mit reellen Zahlen in Einklang gebracht werden koennen ). Spitzfindigkeiten, die evtl. auch real mal wichtig sein koennten. Es passt evtl. immer etwas zwischen 0.9999... und 1, was nicht bedeutungslos sein koennte, z.B. " die Zeit " ( quer gedacht ). Man schaue sich das Video von E.Weitz mal an. Es gibt ganze Buecher zur Forschung darueber, was eigentlich echt interessant ist. Haarspalterei als Prozess kann wichtig sein, wenn man etwas beim unendlichen Spalten findet...

[sebastiankeller]

Angenommen, periodische Zahlen sind Zahlen mit denen man rechnen kann und darf.

1 - 0, 1 = 0, 9
1 - 0, 11 = 0, 99
1 - 0, 111 = 0, 999
...
1 - 0, 1p = 0, 9p

Tatsächlich ergibt 1 - 0, 1 = 0, 8p. Beweis durch Widerspruch, mit periodischen Zahlen kann man nicht rechnen.

[maxxxs]

Kann man das nicht einfach beweisen, indem man sagt, dass es keine Zahl zwischen 0, periode9 und 1 gibt?
Man kann ja nicht sagen, dass man 1 - 0, periode9 nimmt und dann sagt das 0, 1 rauß kommt.

[keresztv]

Zum Beweis 3, Schritt 9, 999... - 0, 999... = 9:
Es stimmt.
Aber es geht auch so:
9, 999... - 0, 999...
= (9 + 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .) − (0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .)
= 9 + 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . − 0, 9 − 0, 09 − 0, 009 − . . .
= (9−0, 9) + (0, 9−0, 09) + (0, 09−0, 009) + (0, 009− 0, 0009) + . . .
= 8, 1 + 0, 81 + 0, 081 + 0, 0081 + . . .
= 8, 91 + 0, 081 + 0, 0081 + . . .
= 8, 991 + 0, 0081 + . . .
= 8, 9991 + . . .
= 8, 999 . . . 1
Und bleibt die Frage: 9 = 8, 999 . . . 1 ?
Also es wurde nichts bewiesen.

Zur Hauptfrage: 0, 999... = 1 oder 0, 999... < 1 ?
Im (Standard-) Modell, wo nur reelen Zahlen sind: 0, 999... = 1.
Im (erweiterten, Nichtstandard-) Modell, wo reelen und hyperreelen Zahlen sind: 0, 999... < 1.
Die Präzision hängt von der Brille ab. In der Mathematik sind viele Brillen. Z. B. gibt es Brille, mit der es zwischen einer Kugel und einem Würfel keinen Unterschied gibt.

[besenstielende]

hab das vid zum wurzelziehen geschaut und bin hier gelandet. sry. da versteh ich nur bahnhof bzw. erscheinen mir die beweise als "ich mahl mir die welt, wie sie mir gefällt indem ich mal eben eine bestehende unendlichkeit wegschummle".
bitte nicht falsch auffassen..ich, als nichtmathematiker möchte hier keinesfalls bestehende regeln anzweifeln (dafür fehlt mir jegliche kompetenz).
ich verstehs nur einfach nicht:-)
trotzem schöne erklärung..allein weils einen beim zuhören/schauen hällt:-)
lg

[urbanjunglegroove]

Das ist unter Außerachtlassung der hyperreellen Zahlen richtig - bei anderer Konzeption und Betrachtung von infiniten und infinitesimalen Mengen kann man durchaus zu anderen Ergebnissen kommen.

[ostihpem]

Geiles Video! Mehr von solchem Zeug, wo man auch als Laie noch mitkommt (zB woher wissen wir eigentlich, dass 1/3 = 0, 333... und nicht nach zillionen Stellen sich doch mal eine 4 einschleichen kann?)

Die Beweise mit den Grenzwerten übezeugen mich nicht, denn die Natur von Grenzwerten ist ja gerade, dass sie meist nie erreicht werden, sondern eine Folge/Reihe nur immer mehr dagegen läuft, ohne den Grenzwert je zu erreichen und genau das wäre ja zu fordern bei echter Gleichheit; sonst ist es eher so eine Art Gleichheitsfiktion. Der dritte Beweis hat wieder das Problem der Zirkularität, denn es ist eben die Frage, ob 10*M = 9, 999... ist oder doch nur "fast gleich".

"Mein" Beweis geht so: Nach der Definition der reellen Zahlen durch ihre Axiome (ich hoffe das kann man so sagen, bin auch nur Laie) muss gelten: die Subtraktion zweier ungleicher reeller Zahlen x und y muss eine reelle Zahl ungleich Null zum Ergebnis haben. Nehmen wir an, 0, 999... und 1 wären ungleich. Dann müsste 1- 0, 999... eine reelle Zahl ungleich Null sein. Diese Zahl kann nur lauten: 0, 000...1. Das ist aber keine reelle Zahl, denn eine Zahl mit unendlich vielen Nullen, die mit einer Eins endet wäre widersprüchlich. Daraus folgt die Falschheit der Annahme und daraus folgt, dass diese Zahl nur die Null sein kann, d.h. echte Gleichheit, ganz ohne Grenzwert & Co.

[geraldnyegaard]

[ mein 1. Kommentar zu diesem Thema ]
Spannendes Thema! Aufschlussreiches Video! - - - - Ist 0, 999... gleich 1? Die Antwort: Ja - - und eigentlich doch nicht!

Auf die Frage, ob wir 0, 999... mit 1 gleichsetzen dürfen, können wir antworten: Ja, das dürfen wir! Nur müssen wir uns gefallen lassen, als Babylonier tituliert zu werden. Zu unserer Verteidigung könnten wir dann immer hin anführen, dass es als Geste der Barmherzigkeit einer außergewöhnlichen Zahl gegenüber betrachtet werden kann. Wie ist das zu verstehen?

Nun, die 0, 999... wie auch alle ihre Artgenossen, also die Dezimalzahlen, die alle unendlich periodisch 9 sind, sind keine rationalen Zahlen! Denn keine dieser Zahlen lässt sich durch einen Bruch darstellen. Im Grunde genommen nur durch einen im Zähler und Nenner unendlichn Bruch. Nur ist Unendlichkeit nicht definiert. Deshalb hat die 0, 999... wie auch ihre Artgenossen nichts in einer Sammlung von Beispielaufgaben zur Umrechnung von Dezimalbrüchen in Brüche verloren. Das, was in Beweis 3. im Video gezeigt wird, darf man nur mit rationalen Zahlen durchführen, also alle periodisch unendlichen Zahlen, so lange sie nicht periodisch 9 sind. Also mit Zahlen wie 5, 333... oder 4, 444... oder 1, 714285714285714285... ist das erlaubt. Genauer gesagt: wir bekommen einen unkürzbaren Bruch heraus. Wenn wir es mit Zahlen wie 12, 999... ausführen, bekommen wir am Ende eine ganze Zahl heraus. Und das sollte uns allen schon verdächtig vorkommen.

Obwohl diese Zahlen nicht rational sind, zu den irrationalen Zahlen können wir sie auch nicht einordnen, denn dazu müssten sie nicht-periodisch unendlich sein, und sich auch durch einem unendlichen Kettenbruch darstellen lassen können. Diese Anforderungen erfüllt unsere 0, 999... aber nicht, und auch keiner ihrer Artgenossen.

Da wie gezeigt Zahlen wie die 0, 999... weder rational noch irrational sind, nehmen wir uns Mathematiker das Recht heraus, sie als 'mathematisch vogelfrei' zu erklären, was uns erlaubt mit ihnen zu tun und zu lassen, was wir wollen. Aber da wir Mathematiker barmherzige Menschen sind (?!), ordnen wir jeden einzelnen dieser Außenseiter einfach ihnen den nahegelegenen endlichen Dezimalbrüchen hinzu.

Sie sind also weder rational noch irrational. Wodurch können wir sie erzeugen? Wir können uns einen endlichen Dezimalbruch nehmen, oder einfach eine ganze Zahl, und dieser Zahl unendlich viele Neunen hinten dranhängen. Einfacher wäre es, wie im Video beschrieben zu vefahren, nämlich sie als Summe einer geometrischen Reihe zu erzeugen. Dass wir dann die Summe mit ihren Grenzwert gleichsetzen, ist, zugegeben, äußerst fragwürdig, so wie es viele (wie in einem Kommentar angeführt: die sogenannten Skeptiker) intuitiv erkennen. Wir sollten uns dabei gerechterweise eingestehen, dass wir wie die alten Babylonier vorgehen, als diese versuchten eine irrationale Zahl als Teile einer messbaren Einheit zu efassen. Es blieb zwar immer ein Rest übrig, der war aber so klein, dass sie sich mit der Annäherung zu einem rationalen Vielfachen einer messbaren Einheit zufrieden gaben. Dass wir zur Rechtfertigung unserer babylonischen Vorgehensweise uns Beweistechniken der antiken Griechen bedienen, macht die Sache eigentlich noch schlimmer. Nur sei dem Kritiker ans Herz gelegt, dient es eben einem guten Zweck: Die außergewöhnlichen Zahlen wie die 0, 999... von ihrem Außenseiterdasein zu befreien.

Etwas zur Theorie: Was machen Zahlen wie die 0, 999... so besonders? Betrachten wir sie als Reihe, bestehen ihre einzelnen Glieder aus einem Bruch mit einer 9 im Zähler und einer Zehnerpotenz mit ganzzahligem positivem Exponenten im Nenner (siehe Video). Das ist zwar nichts besonderes an sich. Betrachten wir aber, in welcher Beziehung die 9 zu jeder Zehnerpotenz mit positivem, ganzzahligem Exponenten steht, und wir uns daran erinnern, dass die 10 unsere Grundzahl ist, sehen wir, dass die 9 die verminderte Grundzahl ist, und beide relativ prim zueinander sind. Teilen wir zum Beispiel eine beliebige wie oben beschriebende Zehnerpotenz mit 9, bleibt immer ein Rest 1 übrig. Auf mathematisch heisst das: Jede Zehnerpotenz mit positivem, ganzzahligem Exponenten ist kongruent mit 1 modulo 9. Diese Eigenschaft bezüglich Grundzahl und verminderter Grundzahl gilt übrigens allgemein für jedes (nicht unäre) Zahlensystem.

Was wiederum bedeutet, dass wir ungeachtet Zahlensystem, mit solchen außergewöhnlichen Zahlen leben müssen. Nur sollten wir es ein für allemal unterlassen solche Zahlen als Übungsaufgaben zur Umrechnung von Dezimalbrüchen zu Brüchen zu benutzen.

Und unseren Kritikern gegenüber sollten wir endlich eingestehen, dass sie mit ihren intuitiven Vermutungen richtig lagen und liegen, und wir uns der 0, 999... und ihren Artgenossen zu Liebe gerne allen Seitenhieben aussetzen (und uns mathematisch gesehen gerne, in Beziehung zu den Körperaxiomen gesehen, auf dünnes Eis hinaus bewegen).