Хитрая олимпиадная задача от PreMath @PreMath

[ADSemenov_ru]

Можно проще и без замены переменной.
(a+b)²(a-b)²=81
((a²+b²)+6)((a²+b²)-6)=81
(a²+b²)²-36=81
(a²+b²)²=9•13
a²+b²=3sqrt(13)
a²+b²+2ab=6+3sqrt(13)
(a+b)²=6+3sqrt(13)

[ЕвгенийПопов-хе]

Валерий, просто слов нет: вы умеете объяснять просто исключительно понятно. СПАСИБО!

[Frat]

Наверное решил бы подобное в школе, сейчас решил чисто логически: а должно быть больше 3/меньше -3, чтобы мы получили a² - b² = 9.
Если a сильно больше 3/меньше -3, то b должно быть больше 1/меньше -1, чтобы получить 9, но тогда мы не получим 3 в a*b. Соответственно a чуть больше 3/чуть меньше -3, b чуть меньше 1/ чуть больше -1.
Чтобы получить плюс в умножении знаки должны быть одинаковые. Так что a+b примерно равно 4 или -4.
Был довольно близок, если получить значение корня, там выходит приблизительно 4.1 (4.1000...цифры)

[AlexeyEvpalov]

Заменяются не отдельные переменные, а одно выражение на другое. Спасибо за изящное решение.

[StupidCat]

Не проще ли просто решить систему, найти a и b, а потом посчитать их сумму?

[overlord]

Можно было изначально выразить b как 3/a (или наоборот), подставить в первое выражение, привести его к уровнению 4й степени. То же, что и с t, но без введения новой переменной

[СергейАлтунин-дл]

Интересное задание и его решение, но если вас не затруднит, желательно делать проверку. Американские лекторы это делают всегда, даже когда не необходимости, но, наверное, у них такой метод преподавания. Как вы думаете?

[romanmaltsev]

Тупо подставив b=3/a можно было получить тот же результат. И так и эдак решать биквадратное уравнение с корнями, ничего же не выиграли.

[alexandrmironov]

Не разобрался, но было очень интересно.

[ЯшинРаушанов]

Как всегда очень приятно смотреть ваши ролики, как будто отдохнул❤

[ВасилийОнипко-уу]

Спасибо. В общей сложности математику изучал более 15 лет а приведенную формулу преобразования вижу впервые.

[galinawesseler]

Очень интересное задание👍! Тут главное проявить изобретательность и знание нестандартных формул 👣

[alexsokolov]

Задача-то хороша, но ни вы, ни англоязычный автор не упомянули об эквивалентности ответов ни слова, а это, как мне кажется, самая интересная часть.

Если решать в лоб, то есть подстановкой b через а или наоборот, получится биквадратное уравнение, откуда конечный ответ будет

a + b = ±(sqrt(4.5+1.5sqrt(13)) + sqrt(-4.5+1.5sqrt(13)))

А теперь внимание, вопрос: почему это равно ±sqrt(6+3sqrt(13))?

Есть такая известная формула:

sqrt(a±bsqrt(c)) = sqrt((a+sqrt(a²-b²c))/2) ± sqrt((a-sqrt(a²-b²c))/2),

где a, b, c - вещественные положительные числа, которые удовлетворяют условию a² - b²c >=0. Но, как нетрудно заметить, для 4.5+1.5sqrt(13) это условие не выполняется. Можно, конечно, залезть в комплексные числа, но, оказывается, есть формула и для случая a² - b²c < 0:

sqrt(±a+bsqrt(c)) = ± sqrt((bsqrt(c)-sqrt(b²-a²c))/2),

где a, b, c > 0. Для a = 4.5, b = 1.5, c = 13 имеем

sqrt(±4.5+1.5sqrt(13)) = - 4.5²))/2) ± = sqrt((1.5sqrt(13)+3)/2) ± sqrt((1.5sqrt(13)-3)/2)

Сложив оба корня, получаем 2sqrt((1.5sqrt(13)+3)/2) = sqrt(2*(1.5sqrt(13) + 3)) = sqrt(3sqrt(13) + 6)

[АртурКоппель]

Задача на количество способов(дополнителное количество баллов соответственно)

[Vazgen_Surminov]

Не легче ли просто выразить а через б или наоборот и подставить в верхнее уравнение?

[ИнгаХлущевская-лк]

Всегда после решения задач делается проверка. Как такой вариант ответа можно проверить?

[ННн-шю]

Пробовал в лоб через подстановку, ответ другой. Хотя проверка ошибку не показала.

[lasxtirien]

Мне все время интересно, зачем составлять задачу таким образом, чтобы решение было каким то квадратным корнем из квадратного корня, если можно взять решение целыми числами и получить например систему Х^2 - Y^2 = 16 и XY = 15

[iwillwatch]

на основе этой можно сделать геометрическую задачу с квадратами и площадями

[ВладимирСтрельников-фм]

Интересное решение, и довольно простое!🙏‼