Такое ощущение, что в этой задаче и, особенно, в ее решении зашифровано какое-то одно из светлых и стройных произведений Моцарта). Спасибо Вам, Валерий!
galynaoksyuk
Заметим, что вторая и третья скобка легко раскладываются на множители по теореме Виета. Что, если разложить? Тогда получится
(x² - 3x + 1)(x + 1)(x + 2)(x - 4)(x - 5)
И вот тут можно заметить, что 1 - 4 = -3 и 2 - 5 = -3. Т.е. если перемножить x + 1 на x - 4 и x + 2 на x - 5, то в обоих случаях появится слагаемое x² - 3x, которое уже есть в первой скобке. Это и наталкивает на мысль, что можно так перемножить и сделать соответствующую замену. Итак:
(x² - 3x + 1)(x² - 3x - 4)(x² - 3x - 10) = -30
Здесь я заменил всю среднюю скобку: x² - 3x - 4 = t. Тогда будет:
(t + 5)t(t - 6) = -30
t(t² - t - 30) = -30
t³ - t² - 30t = -30
t³ - t² - 30t + 30 = 0
t²(t - 1) - 30(t - 1) = 0
(t - 1)(t² - 30) = 0
(t - 1)(t - √30)(t + √30) = 0
Получается совокупность трёх квадратных уравнений:
x² - 3x - 4 = 1
x² - 3x - 4 = √30
x² - 3x - 4 = -√30
Решаем каждое из уравнений по стандартной схеме через дискриминант. Получим, что корни первого уравнения:
x = (3 ± √29)/2
Корни второго уравнения:
x = (3 ± √(25 + 4√30))/2
И корни третьего уравнения:
x = (3 ± √(25 - 4√30))/2
Все эти шесть корней я потом проверил на матлабе, подставив в исходное уравнение, и в каждом из шести случаев всё сошлось!
Alexander--
это сколько решений нужно перебрать, чтобы нащупать ту самую замену. Так просто её не увидишь. Спасибо вам, Валерий
anthercog
Спасибо большое, долго я решала, а до вашего способа не догадалась, в результате, посмотрела ваш способ
technodom
Огромное спасибо за задачу. Я ее решила быстро. Простите, что хвастаюсь.Чувствую себя на седьмом небе от радости. Я не математик, но обожаю математику с детства
ТатьянаЧупахина-ян
Спасибо! Очень сложная, но интересная задача👍 Не удивительно, что её мало кто решил ))
galinawesseler
И ещё после решения произвести проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение 😂
ДмитрийМишин-ьц
Я бы не додумался сделать разложение скобок, а потом так перемножить, что бы вынести х^2-3х. Гениально!
shayrma
Всё понятно, но на моменте "уже просматривается корень t=5" завис. У меня так сходу не просматривается
TheAlaft
Спасибо. Но, после 1:26, можно чуть иначе . (1) x^2-3*x+5=v . ( пятёрку подобрал не глядя Ваше решение ) .Получаем : (2) (v+6)*(v-5)*(v+1)=-30 . После раскрытия скобок, приведения подобных членов и разложения на множители, получаем : (3) v*(v^2+2*v-29)=0 . Решаем (3), подставляем корни в (1) . Получаем Ваш ответ . ( прием разложение на множители и их перегруппировка довольно известный ) . С уважением, Лидий
ЛидийКлещельский-ьх
Олимпиадная задача решается в ограниченное время и скорее требует озарения, какой-то нестандартный подход и дальше все просто и складно. Это задача скорее трудовая, требующая очень много времени на решение, ответы получаются слишком не красивые, что бы решающий поверил в их правильность.
cscs-zyiq
Раскладываем второй и третий сомножители слева как (x+1)(x+2) и (x-4)(x-5). Перемножаем скобочки попарно: (x+1)(x-4)=x^2-3x-4, (x+2)(x-5)=x^2-3x-10. Вводим переменную t=x^2-3x, тогда уравнение принимает вид (t+1)(t-4)(t-10)=-30. Угадываем корень t=5, после чего уравнение для t сводится к квадратному. Дальше всё просто, но надо брать бумажку и ручку, а мне лень.
romank.
Спасибо!
В Италии мы используем правило Руффини для выполнения делений между полиномами (2:20) в некоторых случаях.
MMMM-brpd
А Ткачук сам то решил? Ведь мало, кто решил. Не всегда результат зависит от постановки вопроса. "Один глупец может задать столько вопросов, что сотня мудрецов не ответят." Но Ваши объяснения хорошие, а заголовки бывают фейковые.
ВячеславМихайлов-рч
Поставил на паузу, начал решать сам. Перемножал скобки друг на друга, плюнул на 70% подсчета, начал смотреть решение. Мой план был все перемножить в надежде увидеть удобную замену икса со степенью и все свести к квадратному уравнению, но терпения не хватило. Если есть люди прошедшие мой путь до конца, скажите, есть ли там красивое решение или это изначально был путь в никуда?
_Medoed
Здравствуйте. После того, как мы получили уравнение (t+1)(t-4)(t-10) + 30 = 0, можно заменить второй раз k = t - 7, тогда t = k + 7. Мы получим, что
(k+8)(k+3)(k-3) + 30 = 0, т.е (k+8)(k²-9) + 30 = 0. Но k² - 9 = k² - 4 - 5, значит, левую часть можно представить как (k+8)(k²-4) - 5(k+8) + 30 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5k - 10 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5(k+2) = (k+2)((k+8)(k-2) - 5) = (k+2)(k²+6k-21).
Нам осталось решить достаточно простое уранение, которое ранвосильно совокупности k = -2 или k²+6k-21 = 0, сделать обратные замены и всё.
meison
Вот это действительно олимпиадная, уравнение 6-й степени и все корни иррациональные, тут надо догадаться до данного метода, иначе не решить. Не то что уравнения 4-й степени, которые можно решать общим методом, хоть и громоздко.
pskv
Интересные комбинации. Сначала перемножились вторая и третья скобки. Далее замена переменных. Затем манипуляции с уравнением третьей степени. И насколько громоздкие корни.
liftovik
Объясняет хорошо, но кто такой ткачук, который сочинил то, что мало кто решил, а он сам то и не решил?
ВячеславМихайлов-рч
Можно было обозначить x²-3x-4=t тогда легко получается (t-1)(t²-30)=0
