Крутая задача из ОГЭ, которую решили только 3% учеников

Найди площадь большого треугольника

[evgenzakharov]

Можно решить другим способом. Левую сторону нужно продлить на длину, равную ей же самой. Далее необходимо соединить нижнюю вершину треугольника с концом достроенной стороны. В результате построений получается новый треугольник, где фиолетовая сторона - средняя линия этого треугольника, а оранжевая равна 2/3 медианы построенного треугольника. В результате площадь треугольника равна (8 * 2) * (12 / 2 * 3) / 2 = 144. Искомая площадь равна 1/2 площади построенного треугольника, т.е. 1/2 *144 = 72.

[anushkarapetian]

Конец медианы соединим с концом биссектрисы. Получим кайт, с площадью (8*12)/2=48. Оставшийся треугольник имеет площадь равную площади половины кайта = 24. Площадь начального треугольника 48+24=72.

[coda]

Опустим из точки пересечения медианы и большей стороны отрезок на сторону чуть поменьше. Этот отрезок будет средней линией треугольника с основанием 12, то есть равна 6. Также эта сторона является основанием для другого треугольника с боковой стороной 8. У него средняя линия равна 6/2 = 3. 12 - 3 = 9, 9*4 = 36, 2 таких треугольника дают нам большой искомый по свойству медиан. 36*2 = 72

[AlexeyEvpalov]

Из правого конца 8, опустим вертикальный отрезок 12÷2=6, как средняя линия треугольника с основанием 12. Приняв 6 за основание треугольника слева, нижняя часть 12 это 6÷2=3, как средняя линия. Тогда у 12 сверху над прямым углом 12-3=9, а площадь треугольника над 8 это S=8×9/2=36. Под 8 треугольник с такой же высотой 9 поднятой из крайней правой точки на 8, и равной площади S=8×9/2=36. Искомая площадь S=36+36=72.

[vxrvrxv]

Можно ещё фиол.линию продлить вправо, из нижней вершины провести вверх перпендикуляр, и мы получим новый треугольник равный 2м маленькм уже найденным треунольничкам. И соответственно можно найти площадь по двум треугольникам, левым и правым основного треугольника, 1/2*12*4+1/2*12*8=72

[AlexeyEvpalov]

Соединим конецы синей и жёлтой линии. Площадь дельтоида 8×12/2=48, оставшегося треугольника, половина 48/2=24. Искомая площадь 48+24=72.

[svetlana]

С вами полюбишь и геометрию!!! Спасибо за позитив и прекрасную подачу, и за красивые решения❤

[СлаваОлихейко]

Достраивал до большого треугольника, где отрезок длиной 8 становился его ср.линией, основание тогда 16, а отрезок, который 12 приходит в т. пересечения медиан. И т.д. В общем почти устно посчитал.

[Ahenonn]

Тоже дорисовала до равнобедренного треугольника со средней линией, и потом из свойства пересечения диагоналей трапеции, одна из которых и есть нижняя сторона исходного треугольника, нашла высоту трапеции и треугольника выше средней линии. В итоге у нас два треугольника с общей стороной 8 и равными высотами 9 (это же средняя линия большого треугольника и диагональ трапеции), умножаем и получаем 72.

[animusDK]

Изящно!
Я разбирался отдельно с маленькими треугольниками через тангенс угла, который был поделён биссектрисой)
Оказалось, что высота поделена медианой сторонами 6+2sqrt(5) и 6-2sqrt(5), а при нахождении общей площади корни просто сократились)

[AlexandraMarchenkova]

1) Обозначим
треугольник буквами АВС (слева направо по часовой стрелке)
пересечение биссектрисы угла ^АВС со стороной АС -- D
пересечение медианы из угла ^ВАС на сторону ВС -- F
точка пересечения медианы и биссектрисы -- О
Углы ^АВС=^DBC=a

2) Треугольники АВО и BOF равны (т.к. равны углы и общая сторона ВО)
АО=ОF=8/2=4
3) Площадь треугольника АВD:
S1=BD×AO/2=4×12/2=24
S1=AB×BD×sin(a)/2
4) Площадь треугольника DBC:
(т.к. АВ=BF=FC ➡️ BC=2×AB)
5) Площадь треугольника ABC:
S3=$1+S2=24+48=72 ☑️☑️

[жоражо-ыж]

через свойство диагоналей параллелограмма делить фигуру на 4 равные части решается усно. Достраивается 2 параллелограмма (сторона второго параллелограмма строится по желтой высоте) и получаем 3 равных по площади треугольника. Жаль автор не пишет буквы. Сложно обьяснять своё решение.. Хотя.. достаточно и одного достроенного параллелограмма со стороной по желтой высоте.

[abrakadabra]

На картинке неверно указана высота биссектрисы. Надо указать, что расстояние от вершины до точки пересечения 12. А судя по картинке, это не так. Высота маленького равнобедренного треугольника меньше 12.

[square]

Обалденная задача! Сколько свойств в одной собрано.

[AlexandraMarchenkova]

Плохо дело, если такую задачу могут решить только 3% учеников, окончивших 9 классов. 😢

[AprioryRus]

Тут для решения только формулу площади треугольника надо знать.
Разбить весь треугольник на три треугольника. Два с основанием стороны 12 и один с основанием, куда приходит медиана. Далее замечаем, что эти треугольники равны по площади (это из формулы площади треугольников следует).
Видно с образованием совсем плохо, если задача для выпускников сложная... Одну формулу достаточно знать и больше ничего!!!

[КоляЕгоров-лимб]

Сложно. Куда проще продолжить синюю сторону верхнего треуг. и опустить на нее высоту из нижнего угла. Образовавшийся прям. треуг. равен верхнему правому прям. треуг (по стороне и двум прилегающим углам), значит его высота равна общей высоте h пары верхних прям. треугольников. А искомая площадь Sтр равна (1/2)* 2*(медиана*h) = медиана*h = 8h. Остается найти h. Его находим из соотношения сторон подобных треуг., именно:
(8+4)/4 = h/(12 - h), 36 - 3h = 6, h = 36/4 = 9. Итак, находим искомую Sтр = 8*h = 8*9 = 72. Ответ: *Sтр = 72.*

[ВладимирПлатонов-пт]

Простое решение оказалось. А я пока продирался обнаружил ещё, что пересечение биссектрисы и медианы делит биссектрису на отрезки 9 и 3. А это даëт египетский треугольник с гипотенузой 5, а это тот отрезок в 1. Значит сторона треугольника в 3 части равна 15.

[ИгорьДедиков-зь]

Я решил через выражение площадей "оранжевого" треугольника и оставшейся части (назовём "синий" треугольник) через формулу площади через полупроизведение сторон на синус угла между ними. Площадь оранжевого = 1/2*12*х*sin(a) = 6*х*sin(a). Площадь синего = 1/2 * 12 * 2х * sin(a) = 12*x*sin(a). Синус выражается из прямоугольного треугольника как 4/x. Подставляем в площади и получаем площадь оранжевого = 6 * x * 4 / x = 24. Площать синего = 12 * x * 4 / x = 48. Общая площадь 24 + 48 = 72

[alexanderrayev]

А мне не совсем понятно почему(на каком основании) появились "голубые" цифры 1, 2 и общая 3?