Персидская олимпиадная задача по математике

(a⁸ - a²)/(a⁴ - a²) = 9

[bmsnldb]

Иранская математика такая: 10...9...8...7...

[dxtoibr]

Добрый вечер! Решал чуть проще: делаем замену а2=т в начале. После домножения на знаменатель сразу получаем уравнение четвертой степени, где корни уравнения т=0, и т=1 очевидны и спокойно выносятся за скобки(и не являются решением) Ну и далее такое же квадратное уравнение, с таким же ответом. Может разве что добавить в него вариант, где т имеет право быть отрицательным(ответы с мнимыми единицами)

[superilior]

Я сделал следующим образом:
Первым делом ищу D(y): a⁴-a²≠0 => a²-1≠0 => a≠±1
Дальше, по правилу бабочки выражение (a⁸-a²)/(a⁴-a⁴)=9 трансформируется в 9(a⁴-a⁴)=a⁸-a²
9(a⁴-a⁴)=a⁸-a² => 9a⁴-9a⁴=a⁸-a² => -a⁸+9a⁴-8a²=0
Последнее уравнение домножаем на -1 и делаем замену [a²=t]. После замены делим всё выражение на t. Получаем:
-a⁸+9a⁴-8a²=0 => a⁸-9a⁴+8a²=0 => t⁴-9t²+8t=0 |*(1/t) => t³-9t+8=0
t³-9t+8=0 раскладываем на множители. Выходит: t³-9t+8=0 => t³-t-8t+8=0
Далее выносим общие множители за скобки и используем метод группировки. В первых скобках применяем формулу сокращенного умножения:
t³-t-8t+8=0 => t(t-1)(t+1)-8(t-1)=0 => (t-1)(t(t+1)-8)=0 => (t-1)(t²+t-8)=0
Поскольку t≠1, делим наше выражение на первую скобку. После этого решаем обычное квадратное уравнение:
(t-1)(t²+t-8)=0 => t²+t-8=0
Где D=(1)²-4*(-8)=33
t{1;2}=(-1±√33)/2
Также поскольку t это число в квадрате, то t≥0 => t=(-1+√33)/2
Опосля используем обратную замену [a²=t] => [a=√t]:
a=±√(-1+√33)/2)
В моём комметарии последняя часть решения идентична с авторской, но я её написал для целостности изложения. Всех благ и всем успехов!

[irishsidhe]

Уравнение несложное. Небольшой конфуз вызывает только, так сказать, "некрасивый" результат (этот самый корень из 33), который сразу заставляет заподозрить, что что-то где-то напутал и начать перепроверять.

[lubov.vladimirovna]

Сократить на а в каадрате. В числителе разность кубов расписать сократить и получим биквадратное ур-е. Я дама 67 лет. Такое решаю почти устно. Балдею от математики! )))

[JohnDoe-yoty]

Прошло 20 лет, а я все еще помню математику 8 класса)

[romanverny]

я пришел к этому корню, но в связи с тем, что он какой-то сложный, подумал,
что что-то не так, пришлось посмотреть ваше решение, но как для олимпиады, не вобщем там задачки всегда посложней

[mn_wr]

Спасибо большое за такое лёгкое решение задачи

[denis.petrov]

Я бы в числителе прибавил и вычел а^4. После чего (а^4-a^2) можно вынести за скобку и сократить.

[nataliverber]

Исключаем корни -1, 1, 0. Зaписываем числитель как a^8-a^4+a^4-a^2 имеем (а^4-а^2)(а^4+а^2)+(а^4-а^2), сразу сокращаем на (а^4-а^2) и получаем то же самое биквадратное уравнение. Так вроде проще.

[dsmithrus]

Заменяем a^2=b, выносим множители за скобки, указываем, что a не равно 1, -1 или 0, сокращаем, получаем биквадратное. Всё просто.

[Milesius]

Дробь поделил уголком, получил в числителе (a⁴+a²+1)(a⁴-a²), в знаменателе (a⁴-a²). Сократил на a⁴-a² с условием, что a⁴-a²≠0 (в конце обязательно сделать проверку)
Далее a⁴+a²+1=9, т.е. a⁴+a²=8, заменил a²=t и просто решил квадратное уравнение, получив два корня, один из которых не подходит, т.к. меньше нуля. Итого остался один единственный t. Сверил с ОДЗ, при подстановке не получил 0 в знаменателе, значит он подходит, и тогда a=±√((-1+√33)/2)

[SeempleIQ]

после сокращений остается a^2(a^4-9)=-8 можно заметить что знак отрицательный в ответе, левый множитель всегда положительный => a^4-9<0 => a^4 <9 получается a<2, легко находится ответ 1, но это не совсем точное решение для всех подобных случаев, но этот решается просто.

[grenadeflower]

У нас дети в школе на уроках такие уравнения решают

[ilkhoma]

Не могли бы обьяснить почему мы пренебрегаем отрицательным значением? В изначально уравнении все а в четной степени, что сразу ликвидирует корень, так что по идее даже если под корнем отрицательное значение, число подойдет под решение.

[borismagdalinidis]

Не трудно было решить. По старой памяти из ФМШ им В, М, Комарова. г. Тбилиси.

[AlexeyEvpalov]

ОДЗ знаменатель а^2(а-1)(а+1)не=0, а не=0, а не=+-1. Сократим на а^2, разделим в столбик или по схеме Горнера (а^6-1)/(а^2-1)= а^4+а^2+1=9, тоже уравнение, те же корни.

[stefanovskaya]

Первая часть быстрее решается при делении в столбик а8-а2 на а4-а2 сразу в результате получаем а4-а2+1

[igdejfh]

Довольно не просто увидеть разность кубов, респект за решение

[stick]

Почему при вынесении а² за скобку в числителе в скобках получилось а⁶? По моему а⁴ должно быть, не?