Задача с чешской олимпиады, которую решили только 14% школьников

Нетривиальная задача с чешской олимпиады по математике. Далеко не с первого раза получается её решить обычно.

[Alexander--]

Просто достраиваем до прямоугольника со сторонами 12 + 9 = 21 и 3. Часть прямоугольника выпирает за пределы квадрата. Диагональ прямоугольника - это диагональ квадрата. Квадрат этой диагонали равен 21² + 3² = 441 + 9 = 450, а квадрат стороны квадрата - вдвое меньше, т.е. 225. Значит, сама сторона 15. Даже нет необходимости возиться с корнями.

[Viktor_E_E]

Очень простое решение. Я никакой не эксперт, а простой инженер. Решил задачу следующим образом: Я предположил, если у нас в центре имеются два прямых угла, то я могу в целом построить квадрат с сторонами 3х3. Исходя из этого получаем что расстояние до этого квадрата с двух разных линий по 9 (12-3). Исходя из этого получаем что квадрат находиться четко по центру нашего квадрата. Исходя из этого я понимаю что я могу отзеркалить (дорисовать) наши имеющиеся линии. Исходя из чего получаем две имеющиеся стороны 12(9+3) и 9 и прямой угол между ними. Далее по теореме Пифагора => корень из 144+81=225=15. Поправьте если не прав.

[uncleistvan]

Спасибо. Такие видео помогают мозгам не закисать окончательно.

[lkimdpr]

Мне одному кажется, что если углы между сторонами 12 и 3; и сторонами 9 и 3 прямые, то эти прямые параллельны;а в квадрате между двумя противоположными углами можно построить прямую и только одну??
Если так, то условия задачи являются некорректными))

[rvecfdt]

Учёбу закончил давно. Ни одного уравнения и теоремы в голове не осталось. Решил тупо, линейкой и углом от тетрадки😀начертил отрезки 12-3-9 под углами 90. соединил крайние точки диагональю, померял 21, 2 разделил 10, 6. начертил вторую диагональ, соединил вершины, померял линейкой 15. досмотрел видос, сравнил с ответом автора. Удивился нахрена такое сложное (для меня) решение. Довольный что попал в 14% школьников допил бокал пива, пошел деградировать дальше😉

[UlukaiUa]

Решил довольно быстро и немного другим способом: тоже провел диогональ, но её длину получил как сумму гипотенуз (мелкие катеты треугольников имеют соотношение как и большие из-за подобности ), а дальше также получил сторону квадрата равную 15-ти. Моё решение в лоб и менее изящное и требует на одну итерацию больше (нахождение двух гипотенуз вместо одной сразу).

[TheKwadriga]

У меня ответ тоже получился 15, но решение было куда сложнее: я первым делом провёл диагональ квадрата, она пересекает отрезок "3", и пересекает 2 параллельных отрезка: "12" и "9". Получается, имеем 2 подобных прямоугольных треугольника. Исходя из подобия треугольников утверждаем, что отношение катетов друг к другу у обоих этих треугольников равны. А также мы знаем, что сумма длин маленьких катетов обоих наших треугольников равна 3, т. е., мы можем выразить один катет через другой: получаем уравнение, решаем его и находим оба малых катета. Дальше по теореме Пифагора вычисляем гипотенузы (а это 2 отрезка диагонали квадрата), складываем эти гипотенузы и уже с помощью этой суммы находим сторону квадрата - опять же по теореме Пифагора.

[alkurwaxtep]

Решал менее наглядным способом, введя угол a между любой из двух параллельных линий и горизонталью, тогда x = 21 cos(a) - 3 sin(a) = 21 sin(a) + 3 cos(a) => tg(a) = 3/4, cos(a) = 4/5, sin(a) = 3/5, x = 15

[pgnnqho]

450 так и остается под корнем, в следующем выражении квадрат гипотенузы будет равен 450, далее 450/2=225, корень из 225=15. Мне кажется действие с разложением корня лишнее.

[cbegwey]

Если достроить аналогичные отрезки из 2х оставшихся углов, получится треугольники со сторонами 12, 9 и х. Т.е. это египетские треугольники со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 3, значит сторона х равна 15.

[anatoliyposhekhonov]

Спасибо за задачу.
Я решил через построение квадрата со сторонами = 3, продлив отрезок = 9-и. На пересечении диагоналей маленького квадрата лежит и центр большого. Из этого пересечения построил перпендикуляр к одному из отрезков, а также отрезок к углу большого квадрата. Получил прямоугольный треугольник с катетами 10.5 и 1.5 = (3:2). Нашел гипотенузу, удвоенный квадрат которой равен квадрату искомой стороны.

[dreamir]

Отрезки 12 и 9 параллельны
можно достроить эти отрезки дальше и отрезок длиной 3 провести по середине. т.е. получится 2 отрезка по 10.5
если провести диагональ квадрата, то она пересечёт новый отрезок 3 через его центр, потому как получились подобные треугольники с одинаковыми катетами и углом между ними (значит эти 2 треугольника равны)
получается половина диагонали квадрата
1.5² + 10, 5² = 112, 5
значит вся длина диагонали 2 корней из 112.5
ну или 2x² = 4 * 112.5
x = 15

[wtoxsko]

Сначала, через подобие треугольников нашёл точку пересечения диагонали квадрата со стороной равной 3, потом нашёл длины отрезной от углов квадрата до этой точки, сложил их, получил длину диагонали, и затем, по теореме косинусов, разделил на корень из 2:) сложнее, но результат тот же

[sahaliar]

Разве прямые кглы могут образоваться при таком условии задачи?

[tatianashatalova]

Я по принципе симметрии разделила весь большой квадрат на 4 прямоугольных треугольника с катетами 12 и 9, в центре остаётся квадрат 3х3. Считаем площадь квадрата через мелкие фигуры: 4*0, 5*12*9+9=225. Значит, сторона квадрата 15.

[pdeovke]

Сразу захотелось провести диагональ. Дальше немного помучился с подобными прямоугольными треугольниками, которые относятся как 4:3, нашел диагональ, поделил на кор из 2 и получил 15)

[proggarage]

Сразу на ум пришли вектора, мысленно переносимся в систему координат где ось X совпадает с отрезком длиной 12, в результате получается что правый верхний угол относительно левого нижнего угла имеет координаты (21;3) квадрат длины этого вектора L² = 21² + 3² = 450 и этот же самый вектор является гипотенузой двух треугольников, дальше по теореме Пифагора находим длину стороны X = √(L²/2) = 15

[bjuxdhn]

Чтобы в уме решить уменьшил все размеры на 3.
Получается Прямоугольник 7х1.
Его диагональ √50 и ровна диагонали квадрата.
2а^2=50
а=5
И не забываем умножить обратно на 3.
Ответ: х=15

[vitalynasennik]

Ещё проще. В этом зигзаге отрезки длиной 9 и 12 параллельны. Вот вдоль них и сдвинем этот зигзаг, например, вправо вверх на 9. В результате у нас получится просто прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 21, гипотенуза которого равна диагонали квадрата. Эта гипотенуза мгновенно вычисляется по теореме Пифагора - 15 корней из 2. Теперь осталось вспомнить, что диагональ квадрата ровно в корень из 2 раз длиннее стороны квадрата...

[Anastasia-fnzv]

До момента гипотенузы 15 √2 шла таким же путем. А далее формула диагонали квадрата d=x √2, где вместо d подставляем значение гипотенузы 15 √2 и по формуле сразу видно что сторона квадрата равна 15