Крутейшая олимпиадная задача и 3 её решения

Дан прямоугольник, который поделён на 4 треугольника. Площадь трёх из них известна — это 3, 4 и 5, а площадь четвертого нужно найти.

[observeroutside]

Треугольник 5 перенести влево, чтобы две стороны других треугольников совпали с вертикальной стороной данного треугольника . Получился параллелограмм . Где эта вертикальная сторона стала его высотой . Теперь отсекаем такую же высоту слева. Между высотами прямоугольник, в котором провести горизонталь параллельную горизонтальным сторонам через точку соединения треугольников 3 и 4 . И получили в этом прямоугольнике два прямоугольника. Внизу один над другим, треугольники по 3 и в верхнем - треугольник сложенный-4 . Высота левая разделила верхний треугольник4 на две части и верхняя часть его равна части в прямоугольнике через вертикальный угол…. Таким образом . Параллелограмм- высоты отсекают два треугольника по 5. И в прямоугольнике: сверху вниз верхние две части составляют 4, и две нижние по 3. Итого- 5+5+4+3+3=20- площадь параллелограма и прямоугольника соответственно. Теперь 20- (5+4+3)=8…… надеюсь автор поймет . Всё дело практически в минуте. Не имея возможности передать чертеж, комментатор ограничен в быстрой письменной аргументации🙏

[emmiak]

Если оформлять в чистовик решение задачи, то первый случай расписан практически полностью, а остальные потребую ещё комментариев, почему какая-то часть равна 8, 10 и т.д. и откуда подобие берётся. Мне было бы лень оформлять и раскрашивать :)

[armanavagyan]

Хороший канал думаю когда закончу смотреть все видео ешо 3 раз буду смотреть все видео 🤗

[lashakupradze]

Можно и проще. Во втором методе я обозначил X-ом искаемую площадь и выразил с помощю икса площади трех маленьких треугольников, площадь четвертого -6.
Исходя из того, что площадь прямопропорцианально длине отличаемых сторон- получил (12-X) /( X-4 ) = (X-2)/ 6 получил - X²=64 Значит X=8

[Zavikus]

На чем во втором и третьем решении строится утверждение что площадь верхнего прямоугольника равна 8?

[chubST]

Все 3 решения свелись к решению одного квадратного уравнения! не порядок, сейчас исправим.
Прикол этой задачи в том, что левая сторона делится точкой в соотношении 2:3, а нижняя - пополам.
Берём прямоугольник, отмечаем снизу середину, слева точку на 3/5 от низа. Соединяем как на рисунке, обозначаем площадь правого треугольника как 5, тогда площадь левого 5*(3/5)=3, площадь верхнего посчитаем из нижнего 3*(2/3)*2=4, а значит это разбиение совпадает с условием в задаче. Из того что правый треугольник 5 следует что вся площадь 20.

[sergeyvinns]

Я сразу провёл вертикальную и горизонтальную линии, и получилось, что правая половина от вертикали по площади равна 10, а это 4*2, 5, нижний прямоугольник слева имеет площадь 6, а это 4*1, 5, значит треугольник с площадью 4 имеет короткую сторону равную 2, 5-1, 5=1, згначит длинная его сторона равна 8. Площадь большого прямоугольника равна 8*2, 5=20. Вычитаем из неё сумму площадей известных треугольников, получаем 20-5-4-3=8. Эта задача не тянет на японскую, так как является частным случаем, когда стороны определяются рациональными числами, которые при масштабировании дают целые числа.

[Ivan-Matematyk]

Алгебраїчне розв'язання реалізовано надто нераціонально. Краще так:
ах=8, ву=10, (в-х)(а-у)=6 =>ав + ху - ах - ву = 6 => ав +ху = 6 + 8 +10 = 24.
Множимо отримане рівняння на ав і, враховуючи добуток двох перших рівнянь, отримуємо квадратне рівняння відносно ав.
Відповідь до задачі: sqrt((4+5+3)^2 - 4 * 4*5) = 8.

[Пытливый-фя]

Задачу не решал, но отмечу, что ВСЕГДА можно сжать длину в К раз и увеличить ширину в К раз так, чтобы получился квадрат. При этом значения площадей не изменятся.

[leonidturygin]

Второй способ не понял. Откуда берется вывод про половины.?

[alex_de.sign_]

*А я придумал решение чисто из чисел, без уравнений и подобного.*

Для начала надо найти площадь всего прямоугольника, для этого нужно знать стороны.

Я думал так: если площадь одного из треугольника 5, то значит произведение сторон, умноженное на 0, 5 дает 5. Тогда пусть правая сторона прямоугольника будет равна 5, а нижний катет этого треугольника будет 2. ( (5*2)/2 = 5 ). У треугольника с площадью 3 также: пусть левая сторона будет равна 3, значит другой катет будет равен 2. ( (3*2) /2 = 3), остается еще один треугольник:

так как вся левая сторона прямоугольника должна быть 5, а в ней уже есть часть равная 3, то значит остальная часть этой стороны будет равна 2. Отсюда следует, что верхняя сторона прямоугольника равна 4 ( (4*2) / 2 = 4). По сторонам самого прямоугольника все верно: боковые грани равны каждая 5, а верхняя и нижняя 4. Площадь всего прямоугольника: 5*4 = 20. Вычитаем все остальные площади (20-5-3-4) и получаем искомый ответ 8.

[observeroutside]

2 способ. Провести вертикальную линию через общую точку треугольников 3и 5 . И горизонталь через общую точку треугольников 3 и 4, причем горизонталь довести только предложенной вертикальной линии. Получается искомый треугольник разбит на треугольники 3 и 5 . треугольник отсеченный вертикальной линией у ттреуг 4 пусть будет х и входит в треугольник 5 равен треугол над треуг 3. Итого вертикальная линия делит искомый треугольник на- слева 5–х+3+х=8 опять таки без чертежа объяснять трудно долго, время несоизмеримо со времени решения задачи 🙏💯🙏

[CrazyMax-tqww]

У меня было другое более простое, но не совсем верное решение, такое решение наврядли бы приняли на Олимпиаде
Площадь прямоугольного треугольника равна a×b÷2, достроим каждый треугольник до прямоугольника получим прямоугольники с площадами 10, 8 и 6, раз площади этих прямоугольников это произведение двух чисел и в подобных задачах обычно числа везде целые, то какие два целых числа надо умножить, чтобы получить 10, к примеру 2 и 5, скажем что сторона b данного нам прямоугольника равна 5, то сторона a равна 2+ что-то ещё,
Берём следующий прямоугольник и повторяем тоже что и с первым, 6=2×3, пусть сторона a данного прямоугольника равна 2+2=4, а 3 пойдёт на вторую стороны b
Берём последний прямоугольник 8=4×2,
Одна сторона b равна 5, одна сторона a равна 4, вторая сторона b, тогда тоже должна быть равна 5, но она пока равна 3 с чём-то, 5-3=2, и у нас как раз из последнего прямоугольника есть 2, осталась вторая сторона a, она должна быть равна 4, от последнего прямоугольника у нас осталась 4 логично эта 4 пойдет туда и мы получим что a =4, а b=5, 4×5=20 - площадь всего прямоугольника, а отсюда находим площадь нужного нам треугольника - 20-(3+4+5)=20-12=8

[СтасПапуас-ют]

Я тут заметил красоту, что когда решаешь на глазок всё, то всё получается, иначе с другими бы данными было бы всё гораздо дольше, решать адекватным способом. Я вычислил, по правому треугольнику его катет на пофиг (5*2/5). увидел, что слева такую же махинацию можно сделать, потом 4 * 5 = 20. 20-12=8

[AlexeyEvpalov]

Проще всего взять конкретную модель удовлетворяющую условию. Пусть основание прямоугольника 2, а высота 10. Подбором, если нижняя точка посередине, а боковая на высоте 6, то все площади треугольников совпадут. Площадь прямоугольника S=2×10=20, искомая площадь 20-3-4-5=8.

[АлександрКлючников-щщ]

Мудрёная тема... Но мне лично первое решение показалось и понятным, и красивым, и наглядным. Чем остальные решения типа легче и прощё, я вообще не просёк!

[АлексейФёдоров-ък]

Чертёж как во втором и третьем случае, но решал через пропорции прямоугольников. (10 - х)/6 = х/(8 - х)

[Tukdim]

У меня 2 по геометрии в школе было)) а если в центральном треугольнике достроить высоту из нижнего угла? Она разделит центральный на два треугольника, назовем левый и правый... Потом зададимся вопросом о том что левый подобен тому у которого площадь 3, а правый тому где площадь 5.. прикинем что коэффициент подобия равен 1 и вуаля левый 3 плюс правый 5 равно 8... И никакой алгебры... Так пойдет?

[СтепанСтолець]

А почему есом мы делим на 4 части наш большой прямоугольник, то почему площа двух маленьких прямоугольников сверху равна восемь
Если прямоугольник был 4 сантиметра, там кроме прямоугольника есть ещё маленькая часть от большого

[mazalovo]

Алгебраическое решение:
Обозначим известные площади:
S1 - верхнего треугольника
S2 - левого треугольника
S3 - правого треугольника,
тогда
Sx=✓((S1+S2+S3)^2-4*S1*S3)