Австралийская олимпиадная задача

Найди радиус окружности, описанной вокруг трёх единичных квадратов.

[anastasiyapavlova]

Совершено простая задача, даже, можно сказать для обычной школьной программы. Решение "выскакивает" в уме мгновенно.

[АнтонЗверев-вь]

Можно решить иначе. Достроить треугольник, состоящий из стороны квадрата, лежащей на окружности, основания равнобедренного треугольника, состоящего из двух сторон квадрата и основания, концы которого лежат на окружности. Основание равнобедренного треугольника можно найти через теорему косинусов, так как две стороны известны - по единице, угол между ними тоже известен - 120 градусов, поскольку совмещен с двумя прямыми углами и углом равностороннего треугольника, равным 60 градусов. Далее рассмотреть этот треугольник, совмещённый с каким-нибудь квадратом, и найти, через теорему косинусов, третью сторону, поскольку угол данного треугольника можно найти, сложив угол равнобедренного треугольника и квадрата - получится 120 градусов. В итоге получится третья сторона треугольника, равная sqrt(4+sqrt(3)). Остаётся только использовать теорему синусов, рассмотрев найденную сторону (sqrt(4+sqrt(3)) и угол, напротив которого она лежит - 120 градусов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности треугольника, откуда следует, что радиус описанной окружности равен sqrt((4+sqrt(3))/3).

[Bazuka]

На вопрос про кенгуру из фильма "Каникулы строгого режима" хочется ответить фразой из того же фильма: "Они же сумчатые" 😊

[АндрейЛ-ъп]

Центр вписанной окружности в правильный треугольник совпадает с центром внешней окружности, автоматически знаем радиус этой вписанной окружности, дальше по теореме пифагора.

[olexanderfurman]

Если уж совсем формально подходить к решению, то нужно ещё доказать, что перпендикуляры пройдут через вершины треугольника.
Это чуть сложнее, чем теорема Пифагора. )

[alexey_latyshev]

А я формулой воспользовался и всё: r=abc/4s.

В качестве треугольника берём с основанием нижней грани нижнего квадрата, а противолежащей вершиной - самая правая правого квадрата.


Координаты вершин 0;0 1;0 и 1+sqrt0, 75;1, 5

С этими координатами элементарно находятся стороны и площадь.

[comrade_teacher]

Задача симметрична относительно диаметров, проведённых через вершины треугольника: центр окружности лежит на пересечении медиан. Внутренний треугольник равносторонний: медиана=высота. Находим высоту треугольника по теореме Пифагора (ну, или синусов, если так больше нравится: sqrt(3)/2. Расстояние от центра до вершины - 2/3 от длины медианы: 1/sqrt(3). Рассмотри треугольник из куска медианы от центра до вершины равностороннего треугольника и одной из сторон квадрата, подходящей к окружности. Третья сторона - радиус. Угол между медианой и стороной квадрата - 120 градусов. Известно две стороны и угол - применяем теорему косинусов. Получаем тот же результат ~1, 382.

[Александр-отв]

Я решал более академически) Из левого нижнего угла нижнего квадрата две линии: линия а до левого нижнего угла левого верхнего квадрата и линия b до верхнего левого угла левого верхнего квадрата. Из центра окружности к этим трём углам провести линии, которые очевидно будут равны радиусу R. Получился четырёхугольник со сторонами a, R, R, 1 и диагоналями b и R. По теореме косинусов находим, что а^2=3, b^2=4+sqrt(3). Но по теореме косинусов также получается система: a^2=2R^2(1-cos(альфа)), 1=2R^2(1-cos(бета)), b^2=2R^2(1-cos(альфа+бета)), где альфа и бета - углы, образуемые между собой проведёнными радиусами. Обозначим 2R^2=2x^2, cos(альфа)=y, cos(бета)=z. Из полученной системы выводится уравнение Два мнимых корня и один действительный, равный 0, 73833, т.е. cos(бета)=0, 73833, откуда R=1.38223.

[pva]

Часть медианы в равностороннем треугольнике (которая равна 0.5 / V3) можно найти без перпендикуляров к хордам. Сама медиана находится с помощью теоремы Пифагора (1^2 - 0.5^2), а часть медианы равна 1/3 ("Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1: 2")

[БобожоновГайрат-щш]

в сканави тоже были задачи такого типа

[AlexeyEvpalov]

Уравнение окружности с центром в начале координат x^2+y^2=R^2. Координаты точки окружности под единицей x=0, 5; y=-r-1=-V3/6-1, подставив получим R=V((4+V3)/3)

[solarscorcher]

Фильмы про зеков не смотрю, зато про животных фильмы смотрю, поэтому ответ на вопрос: у самца кенгуру нет сумки.

[dj_anthon]

Некрасиво совмещать обычные и десятичные дроби. Вместо 0, 5 надо употреблять 1/2.