Хитрая советская задача. Школьники не могут решить

Реши уравнение: х² - 5 = √(х+5)

[AlexeyEvpalov]

Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.

[Hobbitangle]

Элементарная подстановка
у=√(х+5), у>0
приводит к системе алгебраических уравнений
х²=у+5
у²=х+5
Вычитаем одно уравнение из другого получаем
х²-у²=у-х
Разлагая разность квадратов и выносят за скобку общий множитель (х-у) получаем уравнение
(х-у)(х+у+1)=0
которое имеет два независимых решения
х=у
х=-у-1
Подставляем первое решение в первое уравнение
у²-у-5=0
D=21
y=(-1±√21)/2
Отбираем только положительный корень поскольку у>0
х=у=(√21-1)/2


Подставляем второе решение
у²+у-4=0
D=17
y=(-1±√17)/2
Опять выбираем только положительный корень
у = (√17-1)/2
х= - (√17+1)/2

Решений два:
х= (√21-1)/2
х= - (√17+1)/2

[badjinda]

Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая

[ymwfqig]

Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.

[Alex-zz]

Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5

[nikitakoss]

чтобы решать таким образом нужно заранее знать что такой способ решения приведет к правильному ответу.

[barsik]

Эта задача была для поступления в ВМК лет 20-30 назад. Ещё на форуме мехмата МГУ её решали.

[volodymyrbabych]

Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.

[lcibqbq]

У меня получилось Х = 2, 79.
Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2, 8 и больше 2, 7 и в итоге получилось 2, 79.

[math-to-masses]

Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный

[n.]

Уже и не помню этот способ, но именно тут он сам всплыл в голове, чтение мыслей.
Спасибо, что напомнили

[verance]

Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть:
X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0
Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x:
- x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0
Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем:
-t^2 - t + x^2 + x = 0
и решаем относительно t:
D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2
Меняем t обратно и получаем два уравнения:
sqrt(x + 5) = -1 -x
sqrt(x + 5) = x
Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения:
x^2 + x - 4 = 0
x^2 - x - 5 = 0
Ну а дальше дело техники)

[Realalexandro]

Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"!
С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5<=x<=-sqrt(5) и x>=sqrt(5)
Обозначаем корень справа за a, 5-ку за b => получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a);
Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0
Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ!
Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.

[ivanovserg]

Вместо непонятных вычислений √17 и √21 надо пользоваться оценками сверху/снизу заменив их известными корнями √16 и √25

[pdjscym]

Именно этим методом, известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) — несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и, после преобразований, получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2), (3), (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x), которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3), (6), (2) } и { (3), (7), (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ, полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но, в предлагаемом подходе, она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат, обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой, уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2, которое содержит все корни (8) . При этом, ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но, уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=—v(x) — при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ), пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим, что ‘—v(x) ‘ — ничуть не отрицательнее, чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=—x ; после возведения обеих частей в квадрат, получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 —корень уравнения (11), другой — x2=—2 — корень уравнения (12) . Вот так . С уважением, Лидий

[romul]

прямо очень сильное заявление "ни один современный школьник решить не может"

[anagorny]

Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас.

Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).

[AlexeyEvpalov]

Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4+(b1+b2)x^3+ Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.

[alex-mad]

Идея рассматривать уравнения с точки зрения разных переменных не нова, но рассмотреть число в качестве переменной и относительно нее составить квадратное уранение жто нечто 🤔👍

[xpfwgzk]

Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах.
Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов.
(x^2-5)^2- 5 = x
Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало?
То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит.
Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.