Олимпиада по геометрии. Найди угол Х

[L.A.-vluy]

Решение автора - самое простое и естественное. Нашли правый угол в 30 град., сразу вспомнили, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против такого угла, в два раза меньше гипотенузы. А тут кстати и сторона, поделённая пополам. Чтобы сделать из неё гипотенузу, нужно из левого нижнего угла опустить высоту на противоположную сторону. Соединили основание проведённой высоты с серединой нижней стороны, и сразу возникает равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине 60 град., т.е. равносторонний. Пометили все равные отрезки, посчитали образовавшиеся углы и нашли ещё один равнобедренный треугольник. Всё просто и логично, если помнить простейшие теоремы геометрии.

[scqrmiv]

Чего-то сегодня день бородатых историй)
Эту задачу решал с полгода-год назад то ли у Волкова, то ли у Щетникова, таким же путём!

[dmitryobakumov]

Можно опустить из верхнего угла высоту h, и достроить равнобедренный треугольник, отразив левую сторону исходного треугольника относительно h влево. Половину его основания обозначим как е. Теперь, если обозначить верхнюю сторону исходного треугольника как с, половину его нижней стороны как a, то h=a+e (как стороны прямоугольного равнобедренного треугольника), с=2h (напротив угла в 30 гр)=2a+2e. То есть, получаем, что большой треугольник (исходный плюс достроенный) - равнобедренный с углом при вершине 30 гр, и сторонами с. Тогда его углы при основании - 75 гр, и такие же углы при основании 2е у маленького достроенного треугольника, а угол при его вершине - тоже 30 гр. Тогда искомый угол равен 75 - 30 -15=30 гр.

[Alex-zz]

Можно решить через теорему синусов. Никаких доп построений будет не нужно, но потребуется много тригонометрических преобразований. Т.е. это скорее алгебраическое решение будет. Из двух маленьких треугольников и из теоремы синусов получаем: sin(135-x)/sin(x) = sin30/sin15. Далее, раскрываем синус разности и отдельно вычисляем sin15 (по-моему даже на этом канале это было) и получаем: ctgx = √3. Отсюда х = 30

[Milesius]

Решал другим способом. Отвлёкся от работы буквально на минуту, а работаю я инженером в AutoCad. Там и решил. 30° получилось 😄

[solarscorcher]

Тут самый главный вопрос, на который нет ответа: Как можно догадаться соединить этим отрезком две стороны?
Методом тыка? Или всё-таки я как-то должен был увидеть, что этот ход будет правильным? Может поделитесь, как можно дойти до такой мысли?

[pxhfyzb]

Задача действительно олимпиадная. Красивая задача.

[AlexeyEvpalov]

Трудно увидеть такое решение. По теореме синусов проще. Спасибо.

[olexanderfurman]

Немного не так сделал.
Первый шаг - найти 30 градусов нижний правый угол.
Второй - отложить 15 градусов от угла 45 по часовой
Третий - посчитать тупой угол равнобедренного треугольника 180-15-15=150
Четвертый-показать что и второй треугольник равнобедренный, поскольку 180-150=30, выходит что отложенный на 15 градусов от 45 отрезок равен отрезкам, которые идут от него же по горизонтали
Пятый шаг и дальнейшие совпадает с показанным.

[santashmyakus]

Аналитически можно решить без построений. Теоремы синусов для простоты, применив. A(-a;0), B(x, y), C(a, 0), O(0;0).
y=-x
Векторы AB|(x+a;-x), OB|(x;y), CB|(x-a;-x), OA|(-a;0):

AB|*OB|=-ax=a*OB*cos(45)
OB|*CB|=x(x-a)+x^2=OB*BC*cos(15), где BC по теореме синусов через ОВ.
AB|*OB|=x(x+a)+x^2=OB*AB*cos(p), где АВ по теореме синусов через АО(а).

Система вида выходит:




Там x сокращается, получаются линейные уравнения. На выходе p=30 градусов через ctg(p).

Ответ: угол АВО = 30 градусам.

[iliasku]

Единственно, хочу заметить, что левый угол большога треугольника находится проще через внешний угол: величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Тогда если внешний угол 45°, то сумма двух внутренних не смежных с ним тоже 45°, и если один из них равен 15°, то другой 45°-15° = 30°!

Это пишется долго и много, так как хотел, чтобы поняли *все*, а на деле соображается моментально!

[One-androgyne]

Я решил его вообще оригинальным способом, но полей не хватило что бы записать! Но вы должны верить!

[alfal]

Длинное и нудное решение. Надо просто провести среднюю линию (параллельно правой боковой стороне) и из подобия треугольников сразу отвечаем: x=30 (равен правому углу треугольника)

[Kirochka-yt]

Я сначала думал что через уравнение, типо 180= 30+15+x+(180-45-x), но потом понял что потеряю икс😂

[Alex-zz]

Странное название видео. Есть же нормальные варианты - Задача, которую решил 1% учеников! Задача от которой падают в обморок! Американские школьники плачут при виде этой задачи!

[femalesworld]

Кому захочется решить классически, есть второй способ. Нужно опустить высоту из вершины. В вершине получится три угла, 15, x и новый, пусть к примеру y. От высоты получится два прямоугольных треугольника, и тот треугольник, где угол 45° даёт однозначное значение x+y также равен 45°. В то же время второй треугольник будет иметь верхний угол 15+x+y, внизу прямой и неизвестный. Неизвестный легко определяется, потому что x+y =45° . Получив угол в 30°, вы запутаетесь, поэтому пересмотрите видео.

[Andrej_rybak]

Благодарю. Задача довольно лёгкая - решил почти сходу в уме. Вышло 30 град. Теперь можно глянуть Ваше решение.

[esrbicq]

У меня получилось совсем просто - нашла правый угол 30°, опустила перпендикуляр из верхнего левого угла - получился равнобедреный прямоугольный треугольник слева и большой прямоугольный треугольник с верхним углом 60°, дальше совсем просто.

[pavlentyslonov]

Как сложно выглядит вначале и как легко вы это решили!

[x_rays]

Ещё одно решение. Нужно построить правильный шестиугольник.