Найдите угол: задача по геометрии

Решаем задачу по геометрии тремя способами: алгебраически, через пропорции и через тригонометрию.

[slshr]

Как вам мой способ:
Отражаем треугольник относительно нижней стороны.
У нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 4 и площадью 4 (угол между равными сторонами - 2альфа). Площадь треугольника можно найти по формуле 1/2*а*б*sin(угла между ними) подставляем данные и получаем уравнение:
4=0, 5*4*4*sin(2a)
Отсюда
Sin(2a)=1/2
2а=30⁰
а=15⁰

[sergeyg]

По моему, проще: проводим высоту и медиану к данной гипотенузе. Высота 1 (следует из площади, как позазано в видео), медиана 2 (радиус описанной окружности), и они формируют треугольник с гипотенузой в двое длиннее катета, т.е 30-60-90. Угол против катета (т.е. высоты), размером 30° - это центральный угол окружности описанной вокруг изначальното треугольника, на хорде. Соответственно, угол альфа на той же хорде - половина, т.е. 15°.

smgxx описал что-то подобное ниже...

[smgxxx]

Проводим высоту к гипотенузе, она равна 1. Проводим медиану к гипотенузе она равна 2, у нас образовался прямоугольный треугольник с катетом 1 и гипотенузой 2, значит угол в этом треугольнике напротив высоты равен 30градусов. и также у нас есть равнобедренный треугольник с углами при основании альфа, а 30 это 2 альфа, значит альфа равен 15 градусов

[ds]

Опустим высоту на гипотенузу. Из площади и гипотенузы получим что высота равна 1. Соединим прямой угол и середину гипотенузы - получим равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник с найденной высотой 1 и гипотенузой 2. Значит углы у него 30 и 60 градусов. А искомый угол равен половине 30, т.е. 15.
Судя по комментариям это распространённое решение

[mkftgff]

Если уж привлекаете тригонометрию, то можно проще:
a=4cos(alpha); b=4sin(alpha):
16 sin(al) cos(al) =4; > sin2(al)=1/2> al=15*

[dmitry]

Действительно классная задача. Первое решение - оно на виду, но совершенно не оптимальное.

[mariamukha]

Ещё способ - достраиваем треугольник до прямоугольника. Запишем его площадь через диагонали - 1/2d^2sin(d^d)=1/2*4^2*sin (d^d)=4. Значит, sin(d^d)=1/2, а угол 150 (согласно чертежу). Из р/б треугольника получаем, что альфа равен 15 градусам

[aypepa]

Я решил ещё одним способом (богатая задача!). ОТразил сначала через длинный катет, потом двойной треугольник -- через бывшую гипотенузу. Получился учетеверённый изначальный треугольник. затес провёл высоты в удвоенных треугольниках (они получились на одной прямой, соединяющей вершины). Сумма высот равна 4 -- получившийся треугольник -- равносторонний, тк гипотенузы -- другие две стороны также по 4. Значит 4ɑ = 60°. Ну а ɑ = 15°.

[dmitryushakov]

Если гипот. 4, а площадь 2, значит высота из пр.угла 1. Т.е. высота в 4 раза меньше гипотенузы. Это означает, что острые углы 15 и 75 (это работает в обе стороны: также верно, что если есть угол 15, то высота в 4 раза короче гипотенузы).

[alexivch]

Это к третьему (тригонометрическому) способу, как вариант: Если с - гипотенуза, a и b катеты, то а = с*sin α, b = c*cos α согласно определению тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. S = (a*b)/2 = (c²*sinα*cosα)/2 = (c² * sin2α)/4. Подставляем S = 2 и с = 4. Получаем 2 = (16*sin2α)/4, то есть 8 = 16* sin2α или sin2α = 1/2, 2α = 30˚, α = 15˚. Либо 2α = 150˚, α = 75˚.

[ravshansarvarov]

Строим симметричный треугольник относительно длинного катета. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 4 и площадь 4. Опустим высоту на боковую сторону и выразим площадь как половина произведения этой высоты на боковую сторону, откуда получим что эта высота будет равна 2. И все.

[nikolaysharapov]

Мне больше понравился последний способ. Самый короткий.

[fuadsalimov]

Здравстуйте ) а вот мой метод решения :
S=1/2ab, ab=4
Sin@= a/4

[maxgladkikh]

Проводим высоту от гипотенузы 4. Понятно, что она 1.
Раз он прямоугольный - то вписанный в окружность. Ставим точку 0. вокруг сплошные радиусы по 2. Получаем 2 равнобедренных треугольника, правый и левый. Правый высотой бьётся на 2 прямоугольных. Смотрим на тот из них, что от точки О. Высота 1, радиус - он же гипотенуза - 2, угол - получается что 30.
Теперь мы знаем про левый равнобедренный тупоугольный, что евоный угол тупой 180-30 = 150. А всего углов на 180. Получаем на сдачу 2 угла по 15.
Ну это чисто логическая задача на самом деле.

[rbvlplx]

Решил первым способом.10-й класс окончил в 1958 году. И зачем теперь оно мне нужно?

[nurlybekmoldagaliev]

Если вписать этот треугольник в окружность, то её радиус будет равен половине гипотенузы. А из S=(1/2)*a*h длина высоты из прямого угла на гипотенузу равна 1. Построив из центра описанной окружности второй радиус к прямому углу заметим что угол между ним и гипотенузой равен 30°, а искомый угол опирается на ту же дугу. А вписанный угол в два раза меньше центрального.😉

[yakovspivak]

Высота h=1
Из среднего геометрического имеем:
X^2 - 4X + 1 = 0
Меньшее значение Х и есть Тангенс искомого угла A :
<A = Arctg(2 - 3^.5) = 15°

[lxwmoit]

Нет, очень громоздкое решение. Решение Волкова больше нравится, но здесь в комментариях есть более красивое и простое решение у Марии. Но всё равно спасибо, что побудили порешать эту задачу ещё раз.

[rlnymmd]

Стыдно признать, но я уже многого не понимаю и не помню. Хотелось бы оказаться на уроке алгебры и геометрии. Очень любила эти уроки.

[bvbwwep]

Андрей, ваше решение может победить в конкурсе на самое сложное и запутанное. Через достроенный прямоугольник и формулу его площади как полупроизведение его диагоналей на синус угла между ними, находим угол -30 ° Ну а дальше сразу видно, что искомый угол 15°. Вы трчно не ищите легких путей.