Найдите угол: задача по геометрии

Решаем задачу по геометрии сначала с помощью тригонометрических формул, а потом с помощью дополнительных построений.

[otkmvrb]

Геометрическое решение задачи очень красивое!

[moyseuk]

Шикарно. Обожаю ваши геометрические задачки.

[xynmpvv]

Класс! Спортивная геометрия со школы люблю)

[yumlzxk]

Решил интуитивно, можно сказать перебором. Но доказать смог только тригонометрией. Вот что значит давно не решал. Выкладывайте ролики почаще.

[fedorhotabich]

Вот ещё решение, используя обозначения рисунка: достроить до равнобедренного треугольника с углом при основании альфа, тогда длина половины основания такого треугольника будет а+1, а длина отрезка продолжающего "основание" прервоначального треугольника равна (а+1)-(а-1) = 2 и этот отрезок является боковой стороной образованного боковой стороной первоначального треугольника с двумя углами по альфа, отсюда из прямоугольного треугольника образованного высотой и только что найденной стороной равной 2 (гипотенузой) при угле = 2*альфа получается 2*альфа= 30 то есть альфа=15

[romantashpulatov]

Класс .Действительно красиво, а главное просто. Возьму на заметку, буду внучке объеснять...

[annamarein]

Продолжить "красный" отрезок равной длины и соединить его с концами другой пары, равных отрезков. Из полученного паралелограмма, в котором диагонали пересекаются под углом 45, легко найти искомый угол.

[Ivan-Matematyk]

Гарна ідея, але багато зайвого. Достатньо добудувати заданий трикутник АВС до рівнобічної трапеції АЕВС, взяти точку Н симетричною до точки Е відносно основи АС і побачити, що трикутники АЕВ та прямокутний НЕВ рівнобедрені. Тоді АЕН - рівносторонній. Тому 4*альфа=60 градусів.

[servenserov]

Гениальное красивое геометрическое решение. Я же претендую на самое некрасивое, методом аналитической геометрии:
Пусть начало координат – в левом углу тр-ка. Тогда линии тр-ка можем описать формулами:
y=x•td(ℒ);
y=(x–a)•td(45°);
y=(2a–x)•tg(2ℒ);
Произведя алгебраические и тригонометрические преобразования, получаем:
tg²ℒ+4tgℒ+1=0;
*Извините, ошибся в знаке, должно быть:*
tg²ℒ–4tgℒ+1=0;
(спасибо _"завод михельсона"_ )
ℒ=15°
Авторским решением №2 просто восхищён! Никогда бы не додумался.

[Sonni-mxok]

Пожалуйста, ставьте буквы у вершин и точек, будет намного проще комментарии разобрать.

[vladyatsuk]

провел перпендикуляр из середины стороны, к которой проведена медиана. слева отложил еще угол альфа, чтобы получить равнобедренный треугольник с углами по 2 альфа при основании. рассмотрел левый прямоугольный треугольник. в нем из вершины биссектриса проведена и внешняя биссектриса (возле прямого угла), тогда правая боковая сторона равнобедренного треугольника тоже есть биссектрисой. 90-2a=4a. 6a=90. a=15

[dmitriylee]

по ощущениям задача должна решаться еще проще) надо будет на досуге подумать)

[jmfwpmj]

Придумал другое решение. Проводим биссекрису угла 2альфа, и перпендикуляр из середины основания ( точка O) до пересечения с биссектриссой (точка B) . Соединим середину биссектрисы (точка M) с вершиной треугольника (точка C). И соеденим точки O и M. Полученная трапеция OBCM равнобедренная!!! Т.к. боковые треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами подобны ( подобие легко видно, вычисляем углы через альфа и 45). И, у равнобедренной трапеции углы при основаниях равны . Получаем при основаниях равенства:
2альфа = 45 - альфа. Т.е. альфа=15.

[flbujks]

Геометрическое решение красивое, но очень плохо, что у Вас на чертежах нет буквенных обозначений. В итоге комментаторы не могут вразумительно свои идеи изложить. И хорошо бы, если бы условие было выведено текстом.

[lesavchen]

Интересная задачка. У Вас в шапке сайта битая ссылка на ВК, скорректируйте, пожалуйста, для посетителей.

[faza_real]

Пусть АВС- данный тр-к(АС-основание), ВМ-его медиана и ∠ ВМС=45(по данным рисунка)
И пусть точка К-середина стороны АВ, а Н и L-основание перпендикуляров из точек К и В к прямой АС.
Тогда КН||ВL, а из угла ВАL и теоремы Фалеса если АК=КВ то и ВН=НL.Значит КН-высота и медиана тр-ка АКL, тогда он р/б (c основанием АL), отсюда угол ∠КLA =∠А=α.
КМ- средняя линия ∆АВС по определению, значит КМ//ВС и КМ:ВС=1:2.Тогда ∠КМА=∠С=2α(соответственные при КМ//ВС и секущей АС).Из∆ КLM и теоремы о внешнем угле тр-ка ∠МKL=∠КМА-∠КLA=2α-α=α. Значит∆КLM-р\б(углы у его основания КL равны α)и КМ=МL.Но МL=ВL(боковые стороны р\б прямоугольного тр-ка МВL).Тогда КМ=ВL.
А отношение ВL:ВС=КМ:ВС=1:2.Тогда из прямоугольного тр-ка ВДС следует, что ∠С=30.Таким образом α=30:2=15

[ds]

Когда дорисовали до трапеции - она оказалась ещё и равнобедренной, т.е. 3 стороны равны. И если высота равна 1, то боковая сторона 2, получим прямоугольный треугольник с углом 2*альфа = 30 градусов.

[a.osethkin]

Интересно. Мало доказательно, но интересно

[aypepa]

Великолепно! Трудно придумать более изящное решение!

[One-androgyne]

Спасибо и вам тоже! Даа это точно! Изящно получилось!