Найдите угол

Решаем ещё одну задачу, связанную со структурой диагоналей правильного 18-угольника.

[getention]

Вот это решения, додуматься до них сложно, но вот понять достаточно легко

[Aleks_Alekseev]

Замечательно. Да, 20 прослеживалось сразу, но решить непросто.

[sv]

Предлагаю еще одно решение (после 2:54).
Обозначаем вершины четырехугольника начиная с левой нижней по часовой стрелке как A, B, C, D.
Из точки D опускаем перпендикуляр DE на сторону АВ.
Из точки В - перпендикуляр BF на сторону CD.
Слева получаем ∆ DEB с углами 90°, 50°, 40° и ∆ AED, в котором сторона ED лежит против угла 30° и равна половине стороны AD.
Справа также получаем ∆ DBF с углами 90°, 50°, 40° и стороной DB, общей с ∆ DEB. Т. е. ∆ DEB = ∆ DВF и DF = DE = AD/2.
T. к. AD = DC, то в ∆ BCF:
DF = FC = AD/2, BC-строна общая с ∆ DBF, > BFC = BFD = 90°.
Т. е. ∆ DBF = ∆ CBF и >ВCF = 40°, а искомый >ACB = >BCD - >ACD = 40° - 20° = 20°

[servenserov]

👍 Лайк №99. Увы, удалось решить только с помощью теоремы синусов. Завидую г-ну Щетникову, мне очень редко удаётся додуматься до доп.построений, хотя мы примерно одного возраста, но у него геометрическая мысль проделывает просто невероятные кульбиты, а мои построения обычно заводят меня в тупик.
Поэтому мои решения в основном тригонометрические, а некоторые задачи удаётся решить методом аналитической геометрии. Но, всё равно, – моя благодарность и уважение автору канала (и соавтору, конечно)!

[jrckbuh]

Получила огромное удовольствие! Спасибо вам за видео!

[flbujks]

Можно просто решить эту задачу без тригонометрии и синусов. Достаточно опустить перпендикуляр из правого нижнего угла (равного 140 град.) на левую сторону и отложить на нём отрезок, равный нижней стороне. Конец этого отрезка нужно соединить с левой нижней и с левой верхней вершинами четырёхугольника и рассмотреть два треугольника, имеющих синюю диагональ общей стороной.
Угол между перпендикуляром и синей диагональю равен 40 град., как и угол между синей диагональю и правой стороной четырёхугольника. Поэтому эти треугольники будут равны (по двум сторонам и углу между ними).
Т.к. левая сторона исходного четырёхугольника будет делить построенный перпендикуляр пополам, то она будет в треугольнике медианой и высотой, а, следовательно, и биссектрисой. Поэтому легко найти угол между этим перпендикуляром и отрезком, соединяющим его конец с левой верхней вершиной исходного четырёхугольника: он равен 40 град. При этом из равенства треугольников следует, что этот угол равен правому верхнему углу исходного четырёхугольника. Соответственно, искомый угол равен 40-20=20 град.
На чертежах нужно не лениться обозначать вершины буквами, это облегчает нахождение решения.

[K.a.z.i.m-I.v.a.n.o.v_]

Так держать!!!! Молодцы, оба решения супер. Я не смог решить

[bxynzgo]

Решил чуть проще с дополнительным построением. Достроил до ромба, продлив сторону с прилежащим неизвестным углом. Углы у ромба 140, 140, 40 и 40. Дальше дело техники, зная теорему о сумме треугольников.

[Stolbunka]

Спасибо, за красивую задачу. Решал через синусы конечно. Алгебра как-то ближе))

[SergeyS]

Правильный треугольник можно построить и на правой стороне. Цепочка треугольников длиннее, но для выработки умения смотреть полезно.

[xrilicc]

Видел эту задачу на канале Матемтика и фокусы. Тем не менее рад буду посмотреть именно на Ваше решение! Спасибо!

[renovator]

Мне кажется, что угол, указываемый на 3:10, который равен 60°, для решения данной задачи, очень даже мог и пригодится, если проделать следующее построение. Давайте проведем, паралельно большой диагонали, изображённого четырёх угольника, линию, в которую упирается угол в 50°. Таким построением, у нас образуются с левой стороны рисунка и с правой стороны рисунка, два подобных между собой параллелограмма. Значения углов при вершинах параллелограмма будут равны 60° и 120° . К тому же, мы можем определить, что угол в 60°, делится диагональю параллелограмма в соотношении 5:1. Тогда, зная что угол 120 ° в два раза больше угла в 60°, можно предположить что и соотношение, на которое делит меньшая диагональ параллелограмма угол 120°, будет также в два раза больше. Углы при вершине в 120° должны будут относиться между собой - 2*(5:1) = 10:2. А, это значит что они будут равны 100° и 20° соответственно.

[OlegVlCh]

Начал смотреть и ждал, когда Андрей остановится и скажет, а теперь попробуйте сами... но он проговорился насчет 18-угольника, и я уже от этой информации избавится не смог 🙁. А через 18-угольник она решается моментально, особенно в геогебре.
А куда можно отправить задачку, может её тоже можно через правильный многоугольник решить, но у меня пока не выходит?...
Кстати, у меня в 18-угольнике другое построение получилось 😏

[Larchevis]

Вышел на 20 градусов, но пошел другим путем.

[kislyak_andrei]

После того, как узнаешь ответ, возникает вопрос
А можно ли, не находя угол, который спрашивают, явно, доказать, что эта фигура - трапеция, а дальше накрест лежащие углы равными будут

[vrzrkxr]

Я уже давно забыл тригонометрию и попытался решить задачу геометрически но несколько иным путем.Суть решения в следующем.После возможного определения углов я сделал некоторые построения:через вершину угла(100+40) провел прямую линию параллельную диагонали с искомым углом . Через вершину четырехугольника с искомым углом провел прямую перпендикулярную построенной прямой и соответственно этой диагонали.Продлил сторону четырехугольника со смежным углом и отложил на ней отрезок равный сторонам четырехугольника по условию задачи..Во вновь образованном равнобедренном треугольнике легко определить углы 20градусов и 140градусов.Рассматривая развернутый угол частью которого является искомый находим ответ (180-140-20=20 градусов)

[qucw]

с чего вдруг получилось что равнобедренный треугольник сделал угол 60 градусов при основании?

[tatyanaivanova]

Там две стороны параллельны или мне кажется, если это так то решение за две минуты без вычислений в уме.

[wsimsec]

Такого не может быть. Назовём вершины-A, B, C, D начиная с левой нижней по часовой стрелке. Точка пересечения диагоналей-О. Угол АОD равен 180-OAD-ODA=60. Угол DOC равен 180-AOD=100. Углы ODA, DOC равны, значит диагональ параллельна CD

[SergeySvotin]

2:16 чертеж не тот же самый, теперь нижний угол левого треугольника (с первого рисунка) нарисован примерно в положенные 100 градусов, а на первом рисунке он был острый)