¿Puedes calcular el área sombreada? | 🧠🤯🤓

#AcademiaInternet, #LaPracticaHaceAlMaestro

[robertlynch]

El suyo es un método inteligente, profesor. Pensé en otra forma de resolver esto que no usa el teorema de Hero.

Toma un △ con lados 𝒂, 𝒃 y 𝒄 (para esta imagen, 𝒄 está en la parte inferior y 𝒂 está a la izquierda). Dibuja una línea vertical llamada 𝒉. Y divide 𝒄 en (𝒄 - 𝒔) a la izquierda y (𝒔) a la derecha.

En términos generales

№ 1.1: 𝒉² = 𝒂² - (𝒄 - 𝒔)²
№ 1.2: 𝒉² = 𝒃² - 𝒔²

Haciéndolos iguales (y expandiéndolos)

№ 2.1: 𝒂² - (𝒄² ⊕ 2𝒄𝒔 - 𝒔²) = 𝒃² - 𝒔²

Consolidando, reorganizando para encontrar 𝒔

№ 2, 2: 𝒂² - 𝒄² ⊕ 2𝒄𝒔 = 𝒃²;
№ 2.2: 𝒔 = (𝒃² + 𝒄² - 𝒂²) ÷ 2𝒄

Tenemos

№ 3, 1: 𝒂 = 5 + 5 + 4 → 14
№ 3, 2: 𝒃 = 13
№ 3.3: 𝒄 = 6 + 8 + 1 → 15

Sustituyendo en ...

№ 4.1: 𝒔 = 6.6
№ 4.2: 𝒉 = 11.2

Uno puede determinar un 'factor de relación triangular' 𝒌 simplemente:

№ 5.1: área entera △ = ½ 15 × (𝒉 → 11.2)
№ 5.2: área entera △ = 84

№ 6.1: factor 𝒌 = △ / (𝒄 • 𝒂)
№ 6.2: factor 𝒌 = 84 / (15 × 14)
№ 6.3: factor 𝒌 = 0.4000

Esto es útil porque cualquier sub-triángulo que use una fracción de 𝒄 y 𝒂 es solo el factor 𝒌 multiplicado por ellos.

№ 7.1: poco a la izquierda △ = 0.400 × 6 × 5 → 12
№ 7.2: entero medio △ = 0.400 • (6 ⊕ 8) • (5 ⊕ 5) → 56
№ 7.3: parte azul = 56 - 12 → 44

Aquí me detendré, habiendo encontrado la misma respuesta.


Yours is a clever method, Professor. I thought of another way to solve this that does not use Hero's theorem.

Take a △ with sides 𝒂, 𝒃 and 𝒄 (for this picture, 𝒄 is on the bottom, and 𝒂 is on the left). Draw a vertical line called 𝒉. And split 𝒄 into (𝒄 - 𝒔) on the left and (𝒔) on the right.

In general terms

№ 1.1: 𝒉² = 𝒂² - (𝒄 - 𝒔)²
№ 1.2: 𝒉² = 𝒃² - 𝒔²

Making them equal (and expanding)

№ 2.1: 𝒂² - 𝒄² ⊕ 2𝒄𝒔 - 𝒔² = 𝒃² - 𝒔²

Consolidating, rearranging to find 𝒔

№ 2.2: 𝒂² - 𝒄² ⊕ 2𝒄𝒔 = 𝒃²;
№ 2.2: 𝒔 = (𝒃² + 𝒄² - 𝒂²) ÷ 2𝒄

We have

№ 3.1: 𝒂 = 5 ⊕ 5 ⊕ 4 → 14
№ 3.2: 𝒃 = 13
№ 3.3: 𝒄 = 6 ⊕ 8 ⊕ 1 → 15

Substituting in, …

№ 4.1: 𝒔 = 6.6
№ 4.2: 𝒉 = 11.2

One can determine a 'triangle ratio factor' 𝒌 simply:

№ 5.1: area whole △ = ½ 15 × (𝒉 → 11.2)
№ 5.2: area whole △ = 84

№ 6.1: factor 𝒌 = △ / (𝒄 • 𝒂)
№ 6.2: factor 𝒌 = 84 / (15 × 14)
№ 6.3: factor 𝒌 = 0.4000

This is useful because any sub-triangle using a fraction of 𝒄 and 𝒂 is just the 𝒌 factor times them

№ 7.1: little left △ = 0.400 × 6 × 5 → 12
№ 7.2: mid whole △ = 0.400 • (6 ⊕ 8) • (5 ⊕ 5) → 56
№ 7.3: blue part = 56 - 12 → 44

Here I shall stop, having found the same answer.

[eduardogaete]

Como sabes q la altura q es perpendicular a la base AC coincide con el vertice del triangulo y el cuadrilatero

[Cesar-gduv]

Luego de trazar la vertical que forma dos triángulos, se puede resolver fácilmente con el teorema de Pitágoras. Altura de ambos triángulos: h^2+6^2=10^2 Luego, h=8.
Área del ▲1= 6*8/2=24, y su mitad, 12 (porque la mitad de su área es la que está sombreada)
Área del ▲2= 8*8/2=32
Área sombreada= 32+12=44

[gabrielmamani]

No entendí la parte en que todos comparten la misma altura, si lo hacen, no estarían cambiando sus bases?

[ST-sdun]

Si se traza una altura "h" desde el punto "C" hacia "AB". Dividiendo la base (AB) en dos segmentos "m" y "n" (m+n=14)
Pitagoras en ambos triángulos rectángulos que se forman:
13²=h²+n²
15²=h²+m²

15²-13²=m²-n²
(15+13)(15-13)=(m+n)(m-n)
28(2)=14(m-n)
m-n = 4; también se sabe que
m+n = 14
2m= 18
m=9; n=5
De esto se concluye que el punto "A" forma un ángulo de 53°
Al bajar una altura (que sería de 8) desde "10" cae exactamente en "6" dividiendo la área sombreada en dos triángulos.
El primero de Área [(6×8)÷2]÷2=12 y el segundo (8×8)÷2=32
Área total = 32 + 12 = 44

[arturocarrion]

Bueno, yo usé el mismo método de trazar cevianas para saber la proporción de las areas que se forman y así saber la distribución del área total, pero... para conocer el área numericamente hablando, no es necesario usar Herón, pues ese triángulo es muy conocido por gente que tiene práctica con problemas de geometría. El triángulo de lados 13, 14 y 15, tiene algunas propiedades conocidas, como por ejemplo...la altura trazada hacia el lado 14, vale 12. O que el ángulo que se opone al lado que vale 13, mide 53°. Con ello es fácil saber que el área del triángulo sería.... (12x14)/2 = 84. Buen video profe.

[inakigarcia]

Interesante resolución. Yo he llegado al mismo valor, pero a costa de resolver distintos triángulos.

[rubenortizluna]

Calculé el área sombreada de los dos triángulos rectángulo formados:
Uno de 8x8÷2 = 32, y el otro es de 8x6÷4 = 12
La suma de las dos áreas da 44u^²
Previamente verifique que efectivamente diera 8 la altura del rectángulo de base 8

[erickronaldoromanipongo]

Creo que usando sen(53) y por resta de áreas salía más rápido. Cuando se ve un triángulo de 13, 14 y 15, el ángulo de 53 siempre se opone al 13.
Gracias por el vídeo profesor.

[joansoldevilacaba]

No hace falta la fórmula de Heron para calcular el área. Cuando traza la altura que divide la figura en dos partes, podemos encontrar la altura de los 2 triángulos en los que se dividiría la figura considerada, que es 8. Eso nos lleva a conseguir el área del primer triángulo mediante el teorema de Pitágoras, que es 32= (8*8)/2. Entonces hallamos la segunda área mediante la mediana del segundo triángulo. Por definición, la mediana hace que los dos triángulos sean de igual área, por lo quese divide por dos el área que se había conseguido antes mediante el teorema de Pitágoras (8*6)/2. El total de las áreas ers 32+12= 44

[andyzf]

Podría sacar una altura entre C y el lado AB y la altura te sale 12 y free tenias toda el área

[SamsungJ-kknr]

Usar el Teorema de Heron, rompe la serie de, casi siempre, usar el teorema de Pitágoras.

[NicolasGuerraOficial]

Hay otra forma de calcularlo, mediante el teorema del coseno, para el ángulo de la izquierda
13^2 = 14^2 + 15^2 - 2*14*15*Cos[a]
Y te da que el Cos[a] = 3/5
Por la propiedad que relaciona el coseno con el seno, da Sin[a] = 4/5
Y para calcular el área azul, se pueden restar 2 triángulos, con la fórmula de (1/2)*lado1*lado2*sin[ángulo)
(1/2)*10*14*(4/5) - (1/2)*5*6*(4/5) = 56 - 12 = 44

[drsdurusselrealsim]

Esta mal. Si fuera la altura estas suponiendo que es a 90 grados. Lo cual es falso

[ToloBCS]

¿Cómo sabemos que al trazar la línea de la parte superior del azul a la inferior estamos trazando una vertical con 90°?

[powersulca]

Se me hace conocido el ttriangulo 13-14-15, yo lo hice sin Heron, la altura relativa al lado 14 es 12, área 84 y el inradio vale 4

[fhffhff]

S1/S=5*6/(14*15)=1/7, S2/S=10*14/(14*15)=2/3, S4/S=(S2-S1)/S=11/21 S=√ S4=1 1/21*84=44

[e.r.r.e.a.p]

La potencia promedio ≠ potencia instantánea ????

[ARichli]

Yo fui esta vez por el camino que siempre critico, el del caso particular que simplifica todo. Por el teorema del coseno el ángulo en A tiene un coseno de 0.6, lo que implica que varios subtriángulos son rectángulos 3-4-5 y el área azul puede dividirse en dos de ellos más otro triángulo rectángulo de catetos 8-8, entonces el área azul es 6+6+32=44. Una solución de porquería al lado de la explicada en el video.