Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числах

@arinablog наш семейный канал

[JuraSheingart]

Кстати, сегодня отмечается праздник - День Математика!!! Поздравляю Вас, продолжайте делать отличный контент и мотивировать остальных любить математику!👍👍👍

[ЕвгенийПопов-хе]

Замечательно! У Вас талант: решения всегда кажутся простыми! Так что поздравляю с праздником и кланяюсь, в знак уважения к мастерству : очень непросто так объяснять сложные вопросы, чтобы они таковыми не казались.

[zumrudimamlizad]

С удовольствием ваше объяснения слушать.Огромное вам спасибо.

[AlexeyEvpalov]

Подробный разбор решения. Спасибо за метод.

[ГайнельКанашева]

Спасибо.) Лаконично... Это у Вас не отнять. Успехов! )

[КапитанОгурчик]

Спасибо за короткое и понятное объяснение

[nezhi]

спасибо большое за объяснение задачи! от души!
сидел ничего не понимал тыщу лет, пока не нашел это видео

[nikolaymatveychuk]

Хорошее решение, но если переменных будет больше двух, полагаю возникнут проблемы, так как уже не получится так чисто выделить множители (по одну сторону от равенства получится 2 слагаемых с разными множителями). Вот более универсальное решение.

рассмотрим остатки от деления выражения на 13 и на 9
4y = -1 (mod 9)
9x = -1 (mod 13)
Избавимся от множителей домножив на 7 и на 3
28y = y = -7 = 2 (mod 9)
27x = x = -3 = 10 (mod 13)
Искомые числа имеют вид: x = 13n+10, y = 9m+2
(13n+11)*9 + (9n+2)*13 = -1;
13*9*(m + n) + 90 + 26 = -1;
117*(m + n) = -117
m = - (1 + n)
То есть подставляя целые n мы сможем найти все решения:
x = 13n + 10;
y = -9*(1 + n) + 2 = - (9n + 7)
Например при n = 0, x = 10, y = -7.
10*9 - 7*13 = -1

ОТВЕТ: x = 13n + 10, y = - (9n + 7)

[donmiguel]

Полезно знать устный приём решения. Если не трудно найти к-н целое решение уравнения (х-нулевое; у-нулевое) и коэффициенты. при неизвестных взаимно просты, то ответ готов: (х-нулевое +bn; у-нулевое --an). По существу это переход к записи параметрических уравнений прямой ax+by=c. В данном случае, ( -3;2) - решение, тогла все решения
(-3 + 13п; 2 - 9п), п - целое .

[guldanasaginaeva]

Спасибо. решение построено очень грамотно

[luffiz]

смотрю семейный канал, чтобы вас без еды не оставили)) такого талантливого человека нельзя голодом морить (и кое чем другим) 😄

[ІгорСапунов]

Решал методом спуска/подъёма сравнением по модулю. Также быстро

[qerdex]

А не могли бы вы рассказать про алгоритм Евклида и как с помощью него решать линейные диофантовы уравнения?

[bbnowhat]

Решите задачку)
Что больше:
Сумма цифр 2 в степени 1000
Или сумма цифр 2 в степени 999?
Если нужен ответ, то я напишу)

[rikofair]

2:25 я не понимаю, почему осталась 9 в знаменателе, и почему 1 стала положительной.... Объясните пожалуйста 🙏

[mfol]

Кстати, в детстве я читал решения таких уравнений в книжках Перельмана и біл весьма поражен таким классом решений. Да, решение не такое формальное, но там рассказівали именно сам метод. Помните, Валерий говорил, мол x и y - целые, начит и дробь целая. Так вот, идея в том, что а давайте введём новую переменную u, тогда x = - y - u, и есть новаое диофантовое уравнение 4y + 1 = 9u, по аналогии выразим y (как переменную с наимельним по модулю кофефициентом - это нужно для вделения целой части): y = (9u - 1) /4 = 2u + (u -1)/4. Снова y и u целые, значит и дробь должна быть целой чтобы нашлись решения в целых числах. Но тогда но обозначить (u - 1)/4 = n, откуда u = 1 + 4n, далее y = 2u + n = 2 +9n, x = -y - u = -2 -9n - 1 - 4n = -3 - 13n. Понятно что если понимать и чувствовать алгоритм Эвклида по нахождению НОД - это как раз именно оно, зато такое решение как по мне хоть и может быть длинным, более понятно для школьников

[frusnemish]

4:14 не просто не делится, а взаимно простое с девяткой

[LegushkaBebrushka]

По-моему, тут есть один нюанс, ну или я чего-то не понял, но уравнение верно не только когда n - целое, но и когда вообще любое, я проверял. Работает и с дробными, и с иррациональными, и даже с мнимыми

[ТатьянаКузьмич-хы]

Ни со школы, ни с универа не помню такого термина " диафанты"