Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля

Бином Ньютона — это формула, которая обобщает привычные нам формул сокращённого умножения (квадрат суммы и куб суммы, например). С помощью Бинома Ньютона можно разложить на слагаемые любую степень суммы. При этом у начинающих учеников возникает несколько проблем:
1. Формула Бинома Ньютона содержит знак суммы — это компактная запись множества слагаемых специального вида;
2. Сами слагаемые тоже не простые. Там есть степени (и это не проблема), а есть биноминальные коэффициенты;
3. Доказательство формулы Бинома Ньютона — отдельная история. Существует несколько способов доказать её, но мы будем опираться на метод математической индукции.

Таким образом, из этого урока вы узнаете:
1. Что такое Бином Ньютона, как выглядит эта формула, что с ней можно делать и что она вообще означает;
2. Что такое биноминальные коэффициенты. Как считается число сочетаний из n элементов по k элементов, при чём тут факториалы и комбинаторика;
3. Кстати, о факториалах. Мы дополним стандартное определение факториала с помощью рекуррентных формул. В частности, 0! = 1 — прямо по определению. Это ни в коем случае не противоречит "классическому" определению факториала (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), но позволяет легко считать большие биноминальные коэффициенты;
4. Затем мы рассмотрим важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, на основе которого построим треугольник Паскаля — ещё одну замечательную конструкцию, которую можно использовать для разложения степеней в многочлены даже в том случае, если вы не знаете, что такое Бином Ньютона;
5. Ну и вишенка на торте — мы докажем саму формулу Бинома Ньютона, опираясь на свойства биноминальных коэффициентов и математическую индукцию.
6. А в качестве опции рассмотрим более наглядный метод группировки слагаемых. После чего станет понятно, почему они группируются именно так, как предложено в доказательстве, а никак иначе.:)

В целом хочу отметить, что тема Бинома Ньютона — большая и сложная. Её нельзя объяснить и доказать в коротком видео. Точнее, объяснить-то как раз можно, но доказать — тут нужно детально разобраться в каждом элементе формулы. Поэтому видео получилось довольно объёмным, но при этом максимально полным и информативным.:)

00:00 0. Формула бинома Ньютона
01:55 1. Значок суммы
10:30 2. Биноминальные коэффициенты
16:25 3. Треугольник Паскаля
23:37 4. Доказательство Бинома Ньютона
42:08 5. Другой способ суммирования

Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7—11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте — и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)

[blackmaths]

Друзья! С этого дня возобновляется публикация новых роликов по математике. В связи с этим есть пара вопросов:
1. Какие темы вам интересны? На недавнем голосовании определились два лидера — подготовка к ЕГЭ и высшая математика. А что конкретно?
2. Как вам нововведение с моей симпатичной мордашкой в правом нижнем углу? Нужна ли трансляция с вебки? Или она только отвлекает?:)

[alexcapraru]

Наконец-то кто-то разбирает подобные темы настолько подробно, невероятных и неописуемых масштабов благодарность за ролики!

[sebastian_pereira]

Ролики Павла как дорогое вино- раз в год, зато КАК:)

[alxbavy]

Ура! Павел, спасибо большое, что прислушиваетесь к зрителям)

[uujvkih]

Как же это круто!
Спустя всего 20 минут с начала видео я уже осознал, что набросать в программке для расчета как любой конкретной строки треугольника Паскаля, так и вывода самого треугольника до любой строки! Да и на бумажке биноминальные коэффициенты посчитаю без проблем. Подписка без вариантов!

[imianovskaia]

Хочу сказать Вам огромное спасибо, что вернулись с классными видосиками по математике)

[Terxx]

Хотелось бы, чтоб вы разобрали поподробнее метод мат. Индукции и доказательства в математике в целом, поскольку тема очень важная и трудная, а никто ей не уделяет внимание :(. И так же хотелось бы увидеть на вашем канале видео по теории вероятностей, при чём и в высшей математике

[mr_mrs_riss]

Спасибо за возможность вспомнить математику! подписалась

[noideawhattodohere]

Огромнейшее спасибо за видео ! Очень помогли разобраться в теме

[JohnWickMovie]

Давай что нибудь более хай левел. Тип введение в комбинаторику, тервер, теория автоматов, тензорный анализ и т.д много интересных областей. По подготовке к ЕГЭ и так много материалов

[Satarov.A]

Здравствуйте с возвращением вас 🤟.
1)Может снимите уроки про векторы .Не только в вашем канале, но и во всех русскоязычных каналах нету нормальных уроков про векторы.
2)лично я предпочитаю без трансляционного экрана

[lqvzuun]

Здравствуйте Павел, спасибо
А ссылку не увидела по теме как сворачивать ряд в формулу?

Хотелось бы увидеть решение задач с целой и дробной частью числа, хотя тема конечно не совсем школьная.

[EgorProskurine]

Мне что не нравится в методе мат. индукции, что можно доказать формулу если её уже знаешь, а хотелось бы как-то её выводить. Интуитивно я думаю, что число комбинаций это как бы число способов выбрать a или b нужное число раз. Например если n=4, то при a**2*b**2 коэффициент будет 6, так как 6 способов взять два a и два b: aabb, abab, abba, baab, baba и bbaa. Но хотелось бы это как то выводить, а тут, ну просто мы уже знаем формулу, сейчас докажем.

[cyberdefender]

Павел, можете записать ролик про теорему о трёх перпендикулярах?

[tevooof]

могли бы вы рассказать что нибудь про оснащенное Гильбертово пространство?

[lidademina]

Добрый день Павел
Очень интересует задача какая формула для вычисления вероятности того, что в случайной перестановке  из 100 элементов не будет цикла длиннее 25

[nswgtqx]

Параметры, лимиты, производные и интеграл

[nenuae]

Можно что то за 9 класс? Например подготовка к оге?

[npshffu]

Ну и как это все можено применить в жизни?