Треугольник Паскаля

В ролике обсуждаются основные арифметические и комбинаторные свойства треугольника Паскаля — одной из самых изящных конструкций в математике, играющей исключительно важную роль не только в комбинаторике, но также в математическом анализе, теории вероятностей и многих других разделах математики.

[sxnnuys]

Ну вы и красавцы. Отличнейшее видео. Удачи вам товарищи в делах❤

[vsssuka]

Я преподаю математику и школьникам рассказываю про треугольник Паскаля с одной целью: чтоб они могли раскрывать скобки (a+b)ⁿ при любом n. А не только для n=2 и n=3, как заставляют учить в школе.

[icxtdfi]

Большое спасибо создателям канала! С нетерпением жду каждый выпуск. Доставляет истинное удовольствие следить за рассуждениями и восхищаться, как в общем-то из простых последовательных идей возникает сложная. Жаль, что так математику не преподают в наших школах. Математика - это прежде всего искусство рассуждения.

[andrerevez]

Спасибо. Рад что есть такие мысли у людей как сложить. А не только как разделить.

[gidro]

Великолепно! Душевно и просто, доходчиво и без воды!

[sdqqgqu]

Так любила математику, и была успешна! Многое в жизни НЕ пригодилось. Любопытство осталось . И вывод :как МАЛО я знала ! СПАСИБО вам!

[risfxbk]

А ещё в этом треугольнике есть степени числа 11. Первая строчка это 11^0=1. Вторая 11^1=11. Третья 11^2=121. Четвёртая 11^3=1331. Пятая 11^4=14641. Шестая 11^5=161051 и так далее.
🤗👍

[-wx--]

Не очень давно наткнулся на книгу 1886-го года “A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics” за авторством G. S. Carr, там для последовательного нахождения коэффициентов разложения бинома (a+b)ⁿ в порядке убывания степени a указано правило Ньютона: домножить текущий на степень a и поделить на количество уже выписанных слагаемых, например
(a+b)⁷ = a⁷ + (1·7/1)a⁶b + (7·6/2)a⁵b² + (21·5/3)a⁴b³ + (35·4/4)a³b⁴ + (35·3/5)a²b⁵ + (21·2/6)ab⁶ + (7·1/7)b⁷.
Т. е. скажем десятую строку треугольника можно выписывать чисто механически, главное не сбиться со счёта сколько уже есть и сколько осталось:
1; 1·10/1=10; 10·9/2=45; 45·8/3=120; 120·7/4=210; 210·6/5=252; 252·5/6=210; и т. д.
В принципе понятно что C(n; k+1) = C(n; k)·(n−k)/(k+1), а вот о наличии такого правила узнал впервые. Думал это я такой хитрый, оказалось что и тов. Исаак не дурак. 😉

[lordqwerzol]

Очень приятное видео, благодарю Вас !

[mrgoodpeople]

Кстати, используя вслепую формулу 10!/(4!*6!) можно на практике столкнуться с лишними вычислительными затратами (и возможно переполнениями в памяти), когда речь идёт об очень больших числах. Поэтому стоит помнить, что это просто 10*9*8*7/4!, то есть сокращать числитель и знаменатель.

[YARSCORPG]

Тут ещё и ряд чисел Фибоначчи упакован. Если складывать числа не по горизонтали, а наискось. Надо соединить единицу из третьей строки с единицей из второй, потом единицу из четвёртой с двойкой из третьей, следом единицу из пятой с тройкой из четвёртой и единицей из третьей и т.д. В итоге получается 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55...

[alekseyravenskih]

Почему на схеме движения фишки в прямоугольнике имеются смены направления движения не в следующей клетке, а через одну клетку?

[hlypenkosasha]

Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.
1. Добавляем 8 строку
2. Суммируем 70 и 56 и вычитаем 1 = 125

[alekseyravenskih]

Чё то я на счёт диагоналей треугольника не до понял, объясните подробнее, пжлста.

[hotvoland]

Очень интересно, но нифига не понятно

[Unknown-nytk]

а почему только с верху или с лева а не с низу или с права, вы приняли какие-то ограничения о которых е говорите?

[nataly]

Не поняла как добраться до тройки тремя способами

[wdkykjq]

Класс! Уже пенсионер, а все равно интересно.

[xufbigo]

Это очень интересно, но где может это пригодится?

[mega_mango]

Прикол, по сути сумма членов каждого ряда равна 2^n, т е у треугольника с основанием n сумма всех чисел в кружках 2^(n + 1) - 1. Можно дозаказать это тем, что распределение чисел в треугольнике паскаля совпадает с распределением оных в биноме Ньютона с (1 + 1)^n. А ещё если воспринимать каждую строку как число, то на следующей строке будет эта же, только умноженная на (10 + 1), а т к на первой 1, это степени 11. По сути то же свойство, всё таки мы работаем в десятизначной системе счисления, будь она например одинадцатизначной это были бы степени 12ти. Однако есть одно но, в клетке может быть куча целых чисел, сколько угодно цифр в каждом. Так что я не знаю можно ли воспринимать 17(21)(35)(35)(21)71 как восьмизначное число 😅