Найдите площадь круга

Решаем задачу по геометрии, применяя теорему о вписанных углах, теорему косинусов и разные другие полезные соображения.

Благодарим вас за интерес к нашей работе!

Новосибирский Государственный Университет

[СветланаБелослюдцева]

Какие приятные умные дядьки! По-больше такого контента! Удачи вам😊!

[SaarSergey]

Вторую часть задачи можно решить ещё быстрее, у нас уже есть 2 треугольника вокруг которого описана окружность и в котором нам известен угол, так что мы сразу находим радиус по теореме синусов.

[ludmilachernyavskaya]

Красиво, доступно, с настроением! Благодарю Вас.

[AlexSmith-hkqt]

А можно в полярных координатах решать. Я вот не знал про хорду и угол. Правда, там арифметика - капец противная. Крайне сложно не запутаться. Берём уравнение окружности в полярных координатах, когда она проходит через центр координатной плоскости, а центр окружности отклонён под углом ф0: r(ф)=2Rcos(ф-ф0). Точка, откуда выходят хорды - это центр координатной плоскости, а ось расположим вдоль хорды, которая 11. Тогда: r(0)=11, r(a)=10 и r(2a)=4 - получаем систему из 3 уравнений. Сперва систему обращаем арккосинусами, потом из первого уравнения выражаем ф0, из второго a, и подставляем туда наше ф0, потом в третье уравнение подставляем а и ф0, и таким образом исключаем углы а и ф0, остаётся одно уравнение относительно R^2 под арккосинусами. Чтобы от них уйти, нужно перенести одно слагаемое вправо, чтобы слева остался член с множителем 2 и взять косинус правой и левой части. В левой расписать косинус двойного угла, а в правой будет косинус разности. Всё подставить, R^4 сократится, и останется линейное уравнение относительно R^2.

[vladyatsuk]

кстати, нашел в школьном учебнике точно такого же плана задачу, только с другими числами и просили только радиус окружности найти

[marcdonecki]

когда нашли "зелёную" сторону, можно СРАЗУ находить необходимый (для нахождения площади) радиус окружности, описывающей треуг. / по теореме синусов/

[servenserov]

Ещё один способ решения второй части задачи (после нахождения третьей стороны тр-ков).
Я использовал формулу R=abc/4S△, где S△ – площадь вписанного тр-ка S△=½abCosℒ. Конечный результат: площадь круга ≈100, 5 кв.ед.

[АллаИльинская]

Прошло 40лет после сдачи экзамена по математике в УрГУ. Забылось все, и вот ваши решения как неземной свет и небесная радость. Уже не понимаю, не смогу решить, хотя когда то запросто, но это есть. Это истина. Есть объективные опоры всех не всегда радующих перемен в виде войн и прочего. Это преобразования закономерны

[МалыхинДмитрий-йл]

Вариант: поворачиваем луч "11" с его красной хордой вокруг луча "10" в положение вдоль "4". Хорды образуют равнобедренный треугольник. Его высота с лучом "10" дают прямоугольный треугольник с косинусом альфа (4+11)/(2*10). Далее, как и сказано, теорема косинусов, нашли b-квадрат = 126, нашли sin(2-альфа) равный корню (63/64) и по теореме синусов (согласно замечаниям) R^2 = 126*64/63/4=32.

[vlad_cool]

Когда нашёл косинус, можно решить через теорему синусов

[andrejsbordjukovs]

Добрый! Как вариант после того как нашли а^2 и косинус можно провести 2 радиуса к одной из а, и опять по теореме косинусов где центральный угол будет равен 2-м альфа.

[РусланКантемиров-юю]

Как обычно я площадь круга нахожу так, делаю полный квадрат внутри круга, с ровными углами, где все углы квадрата косаются круга а потом измеряю один полумесяц из оставшиеся четырех, а потом площадь полмесяца умножаю на четыре, и получившийся результат прибавляю к заранее пощитанному площади квадрата, а площадь квадрата очень легко посчитать, поскольку все стороны квадрата тоже равны.
И таким способом вычисляю квадратуру круга.

[pavelkolesnikov]

Тот редкий случай, когда я готов рекомендовать решение через комплексные числа (ставим начало в центр, точка пересечения хорд = -R, дальше гольная арифметика)

[СвободныйМатематик]

Обозначим углы а, а хорду n
n2=100+121-220cos(1/2a)
n2=100+16-80cos(1/2a)
105=140сos
сos(1/2а)=3/4 sin(1/2a)=√7/4
n2=56
n=√56
cos(a)=cos(1/2a)2-sin(1/2a)2
cos(a)=2/16=1/8
n2=r2+r2-2r*r*cos(a)
56=2r2(1-1/8)
r2=28*8/7
r2=32
S=32П=100 кв ед

[brnduljak]

Приятно увидеть знакомое лицо, уважаемый Андрей Щетников (Надеюсь Ваши имя, фамилию я воспринял на слух правильно). Не воспринимайте мой коммент с обидой, мне просто интересно. Вы довольно успешно демонстрировали опыты по физике. Сейчас что-то Вас занесло в начальную математику. Это почему? Вы так универсальны или влияет экономический кризис? Извините за некоторую бестактность, но мне очень интересно!

[ЗояШаромет]

Зная косинус, найдем синус и применим расширенную теорему синусов.

[ЛеонидРубинштейн-фь]

Если у треугольника известны три стороны и хотя бы один угол, (и даже если неизвестен) то достаточно легко найти радиус описанной окружности. Площадь находится 0, 5ab sin(C) или по формуле Герона. R = abc/(4S). Второй чертеж не требуется. И рассмотреть достаточно только один (любой) треугольник, после того, как одну сторону нашли как корень(56). А если угол известен, то вообще R = a/(2sin(A)).

[АнатАфанасьєв]

Забыл скобки нарисовать в последней строчке

[Wepuat]

А если через радиус описанной окружности? Тем более, на втором этапе имеем равнобедренный треугольник. И не нужна никакая "h". R=а^2/sqrt(4a^2-b^2).

[ДмитрийДавыдов-мщ]

всё проще. теорема косинусов, затем теорема синусов, но варианты всегда интересно