POURQUOI 1 = 0,999... ?

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@sushinihiliste Si tu veux, il y a de belles pépites dans les commentaires ! 😘

[medematiques]

⚠️ À LIRE AVANT DE COMMENTER !!!


Devant le nombre important de commentaires qui veulent me prouver que j'ai tort, et que 0.999... n'est qu'une "approximation" de 1, voici ma réponse !


- Tout d'abord, les "..." ont une importance ! On parle bien ici d'une infinité de décimales. Faire une approximation, cela voudrait dire que l'on aurait un nombre fini de décimales. Or ici, ce n'est pas le cas.
Donc 0, 999... = 1.


- On peut montrer le résultat par la limite d'une série. La limite de la série de terme général 9/10^k, (où k varie de 1 à +infini) est égale à 1.
Donc dans le cas limite (avec une infinité de 9), on a bien 0, 999... = 1.
Donc 0, 999... = 1.


- On peut étudier l'équation 10x = x + 9. C'est une équation polynômiale du premier degré, donc qui n'admet qu'une seule solution.
Or, 1 est bien solution (car 10 = 10), et 0, 999... est aussi solution (car 9, 999... = 9, 999...).
Donc les deux solutions sont égales.
Donc 0, 999... = 1.


- Si on suppose que 0, 999… ≠ 1. Alors quel est le résultat de « 1 – 0.999… » ? Vous êtes sûrement tentés de répondre « 0, 000…1 ». Mais cela n’a aucun sens ! Le 1 n’existe pas, puisqu’il se situe après une infinité de 0. En écrivant « 0, 000…1 », on suppose que le dernier chiffre du développement décimal, c’est 1. Mais il n’y a pas de dernier chiffre, vu qu’il y en a une infinité. C’est comme si je disais que le dernier chiffre du développement décimal de π, c’était 7. C’est absurde !
Donc 0, 999... = 1.


- De la même façon, supposons que « 0, 000…1 » existe. On a bien « 0, 000…1 x 10 = 0, 000…1 », puisqu’on enlève un 0 à l’infinité de 0 (il y en a toujours autant, c’est-à-dire une infinité). Donc 0, 000…1 = 0, 000…1 x 10. Donc par unicité de la solution à l’équation « X = 10X », on a évidemment 0, 000…1 = 0.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons encore que « 0, 000…1 » existe. Essayons de numéroter les décimales une par une. Le premier 0 a le numéro 1, le deuxième zéro a le numéro 2, etc…
Quel est donc le numéro de la décimale « 1 » ? L’infini ? Ce n’est pas un numéro. Impossible de numéroter la décimale, 1, donc elle n’existe pas.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons encore que « 0, 000…1 » existe, et essayons de donner « l’infini » comme numéro de la décimale 1. Cela voudrait dire que 0, 000…1 peut se définir comme 1*10^(-infini). Et mathématiquement, cela donne rigoureusement 0.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons par l’absurde que 0, 999… ≠ 1. Cela signifie donc que le nombre X défini par « X = 1 – 0, 999… » est non nul, donc il est inversible. Donc 1/X existe, et c’est un nombre réel (donc fini). Ce qui est absurde ! Aucun nombre réel est suffisamment grand pour représenter 1/X. Donc 1/X ne peut pas être autre chose que +infini, donc nécessairement, X ne peut pas être autre chose que 0.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons par l’absurde que 0, 999… ≠ 1. Cela signifie donc que la moyenne de 0, 999… et de 1 est strictement comprise entre 0, 999… et 1. Pour les même raisons que « 0, 000…1 » n’existe pas, une telle moyenne n’existe pas.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons par l’absurde que 0, 999… ≠ 1. Cela signifie que l’on peut trouver un intervalle ]a ; b[ qui contient 1 mais qui ne contient pas 0, 999... Un tel intervalle n’existe pas.
Donc 0, 999… = 1.


- Supposons par l’absurde que 0, 999… ≠ 1. Donc l’intervalle [0 ; 0, 999…] est un intervalle fermé. Or, il existe bien une suite de nombres de [0 ; 0, 999…] qui tend vers 1, et 1 n’est pas dans l’intervalle [0 ; 0, 999…]. Par définition topologique d’un intervalle fermé, c’est absurde.
Donc 0, 999… = 1.


- Par construction de l'ensemble des nombres réels, on sait que tout nombre décimal non nul possède un développement décimal impropre. Or, 1 est un nombre décimal non nul, car il peut s'écrire sous la forme "1/10^0". Donc 1 possède bien un développement décimal impropre, qui n'est rien d'autre que 0, 999... car 1 est strictement positif.
Donc 0, 999... = 1.

- En prenant une fonction continue positive sur un intervalle, par exemple la fonction f = id définie par f(t)=t, en calculant l'intégrale de 0 à x de f, c'est-à-dire l'aire sous la courbe de f entre 0 et x, on obtient le même résultat pour x = 1 et x = 0, 999..., donc pusique f est positive entre 0 et 1, on a bien 0, 999... = 1.
Donc 0, 999... = 1.


- (0, 999...)² = 0, 999..., or 0, 999... ≠ 0.
Donc 0, 999... = 1.


- Si on suppose que 0, 999... ≠ 1, cela signifie que 0, 999... n'est pas un nombre entier, et donc que l'adhérence du complémentaire de N (ensemble des nombres entiers naturels) est égal au complémentaire de N, donc N est un ouvert. Or on sait que N est un fermé. Contradiction.
Donc 0, 999... = 1.


- 0, 999... * 2 = 1, 9999... Et 1 - 0, 999... = 2 - 1, 999..., donc 1 - 0, 999... = 2 x (1 - 0, 999...), donc 1 - 0, 999... = 0 .
Donc 0, 999... = 1.


- Afin de réfuter l'argument "la calculatrice me dit Il suffit de multiplier ce résultat par 3 pour se rendre compte du ramassis de bêtises que peut dire la calculatrice.


- Le dernier argument est que : puisque c'est quelque chose de vrai, remettre en question cette égalité serait équivalent à remettre en cause toutes les mathématiques, ce qui ferait s'effondrer la science. Une telle chose provoquerait la fin de l'humanité, donc cela ne peut pas arriver.
Donc 0, 999... = 1.


Je peux essayer de le prouver par plein d’autres façons ! Ça m’amuse, et puis de toute façon, je n’ai que ça à faire ! 🤗

[gabrield.]

Je suis énervé du manque de rigueur des commentaires de ce post.. Déjà, personne n'a parlé de 3.33, de 9.99 ou de 0.99, on parle bien de 3.33..., de 9.99... ou de 0.99... Les "..." ont une signification très importante, donc bien que la démonstration soit pas la plus rigoureuse ici, elle est correcte. Il suffit juste de voir que ce genre de notation fonctionne comme une limite : quand N tend vers l'infini positif, 1/N tend pas vers un peu plus que 0, ça tend vers 0 exactement.

[kakooo]

C'est au bout de 28 ans que j'apprends que mettre une petite barre au dessus du 9 veux dire infini ... 🙄

[maxou]

Autrement dit essayez de trouvez un nombre entre et 1

[hadrienbrc]

Bonjour !
Pour ceux qui aurait des doutes quant à la véracité de cette égalité, il est possible de passer pas des sommes géométriques et des limites. Vous construisez décimal par décimal et vous trouvez 1 à l'arrivée.
Vous pourrez trouver ce genre de démo facilement sur Internet.
La démonstration de la vidéo n'est certes pas rigoureuse, mais à le mérite d'être plus facile à comprendre pour un bon nombre de personnes. Toujours est-il que l'égalité est vraie !
Bien à vous

[EghaigYTB]

Fascinant et très bien expliqué, merci 🤗

[athanasenasko]

Si j'avais eu youtube à 13-14 ans je n'aurais peut-être pas autant détesté les maths. Bravo et merci!

[matthieubuzelli]

petite équation : 10x = 9+x ( polynome de degré 1 donc maximum une racine)
essayez avec 1 et avec 0, 999...

[lionelmocaw]

La notation "0.999..." est une notation pour une suite de nombres, qui peut être définie comme suit :
• Le premier terme de la suite est 0.9.
• Pour tout entier n >= 1, le (n+1)-ème terme de la suite est obtenu en ajoutant un 9 à la fin du n-ème terme.
Ainsi, les premiers termes de la suite sont :
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...
On peut voir que cette suite converge vers une limite finie sans jamais l'atteindre, car on peut toujours trouver un terme de la suite qui est strictement plus petit que le précédent. Par exemple, le terme 0.999 est plus petit que le terme 0.9999.
En revanche, cette suite est monotone croissante, c'est-à-dire que tous les termes de la suite sont plus petits ou égaux au terme suivant.

En somme, "0.999..." n'est pas une suite constante, mais plutôt une suite monotone croissante.

En mathématiques, on ne considère pas ∞ (l'infini) comme ayant une limite, car ce n'est pas un nombre réel. La notion de limite est utilisée pour décrire le comportement d'une fonction ou d'une suite lorsque sa variable d'entrée se rapproche d'une certaine valeur réelle.

Dans ce contexte, on peut parler de limite infinie, mais cela ne signifie pas que ∞ est une limite en soi. Plutôt, cela indique que la fonction ou la suite continue à croître (ou décroître) indéfiniment à mesure que la variable d'entrée s'approche de l'infini.

Si l'on considère qu'il n'y a pas de limite à la suite 0.999..., alors cela signifierait que la suite continue indéfiniment sans jamais atteindre une valeur finale. Dans ce cas, on ne pourrait pas dire que 0.999... est égal à 1, car cela supposerait que la suite atteint une limite.

Cependant, en mathématiques, on considère que la suite 0.999... CONVERGE vers la limite 1. Cela signifie que même si la suite continue indéfiniment sans jamais atteindre exactement 1, elle se rapproche de plus en plus de 1 à mesure qu'on ajoute des décimales.

Par conséquent, dans ce cadre, on considère que 0.999... est égal à 1 grâce à la convention de "limite", hors limite, donc ∞, 1 - converge vers cette suite de zéros peut être représentée de manière simplifiée par 0. Cette représentation ne veut pas dire "strictement" vrai, car littéralement converger ≠ atteindre.

En mathématiques, converger signifie tendre vers une limite. Cela se réfère à une propriété de certaines suites ou fonctions qui, au fur et à mesure que l'on prend des termes ou des valeurs de plus en plus grands, se rapprochent de plus en plus d'une certaine valeur appelée limite.
Si la suite ou la fonction converge, cela signifie que la différence entre les termes de la suite ou les valeurs de la fonction et la limite devient de plus en plus petite lorsque l'on prend des valeurs de plus en plus grandes.
En d'autres termes, la suite ou la fonction se rapproche de plus en plus de la limite sans jamais l'atteindre complètement.

Il faut bien distinguer les notions de limite et d'égalité exacte. En mathématiques, deux nombres peuvent être différents, mais avoir la même limite.

En dehors du contexte scientifique, la notion de limite peut avoir un sens différent et la question de sa compatibilité avec l'infini peut ne pas être pertinente, dans ce cas la stricte égalité 0.999∞=1 est-elle invariablement vraie ?

En physique, la limite peut être utilisée pour décrire le comportement d'un système lorsque certaines conditions se rapprochent de l'infini, telles que la vitesse de la lumière ou la gravité. Dans ce cas, la notion de limite est également compatible avec l'idée d'infini, mais non strictement identique.

En mathématiques, la notion de limite est compatible avec la notion d'infini. En effet, la notion de limite permet de décrire le comportement d'une suite ou d'une fonction en un point donné, même lorsque cette suite ou fonction prend des valeurs infinies.

Par exemple, la limite de la fonction f(x) = 1/x quand x tend vers l'infini est 0. On peut également parler de limite infinie, comme dans le cas de la fonction g(x) = 1/(x-1), dont la limite est infinie quand x tend vers 1 par la droite.

En résumé, la notion de limite est un outil puissant, mais une convention pour étudier le comportement des fonctions et des suites, même lorsque ces dernières prennent des valeurs infinies.

Peut-on dire que ∞ x 2 = ∞ + ∞ ? Si on considère l'infini comme étant un nombre réel, alors cette égalité n'est pas valable. En effet, dans le système des nombres réels, la règle de calcul (a+b) x c = a x c + b x c n'est valable que si les nombres a, b et c sont finis.

Or, l'infini n'est pas un nombre réel fini et cette règle ne s'applique donc pas.

[zoxy]

Ce qui est vraiment étonnant, c’est la quantité de personnes dans les commentaires qui sont tellement sûres d’elles mais qui ont tout faux.😅

C’est difficile de se mettre à la place de ces gens, mais c’est pour ça que j’ai l’impression qu’ils sont uniquement composés de personnes soient trop vieilles pour bien vouloir admettre leurs torts, soient de personnes beaucoup trop sûres de leur intelligence et qui ont peur de la remettre en cause (alors que passer outre et essayer de comprendre, en faisant pourquoi pas des recherches soit-même sur internet pour s’en convaincre, en est véritablement une preuve).

[darkinmutt]

Impossible de pas exploser son crâne en lisant les commentaires

[ayoubt-t]

Je pense comprendre un peu mieux le cœur du sujet. Il s'agit d'un probleme de definition.

Qu'est-ce que signifie 0.9999...? Le meilleur moyen de le definir, c'est de dire que c'est la limite quand n tend vers l'infini de 1- 10^-n.
En effet, pour chaque iteration, on a quelque chose qui ressemble a 0.99... :
n=1 => 0.9
n=2 => 0.99
...
n->infini => 0.99...

Il s'avere que cette limite est egale a 1 ( et la limite ne tend pas vers 1, une limite ne peut pas tendre, c'est un objet fixe).

Sur la meme idee, on pourrait dire que 1.00... correspond a 1+ 10^-n
(n=1 => 1.1 ; n=2 => 1.01 ; n=3 => 1.001 ; ... ; n->infini =1.0000).

Il s'agit donc que d'une notation de la limite donc effectivement 0.99...=1.

Apres concernant la demo, je pense qu'elle est lacunaire. Parce que ce n'est qu'une notation, alors c'est assez difficile de dire que 10*0.99... = 9.9... comme ca tout de go. Par contre, ca se demontre assez facilement en utilisant la suite utilisee pour definir 0.99...

[simsim__]

Il y a vraiment des gens qui croient être mathématiciens ou je sais pas bien quoi pour contredire les 20 démos du commentaire épinglé.
C'est assez fou de se dire que des gens veulent pas ACCEPTER le fait que 0.999...=1 alors que vraiment je ne vois pas où est le problème ? Qu'est ce que ça vous dérange ?
Vraiment ce résultat, beaucoup de vrais grands mathémaciens (ne me demandez pas des noms, je ne sais pas) ont démontrés que 0.999...=1 ou encore que 0.333...=1/3.
Bon donc, tous ceux se prenant pour je ne sais qui (sûrement un Albert Einstein des temps modernes) démontrant (sans démontrer) que ce n'est pas vrai mais que c'est approximativement vrai. Non 0.999...=1.
Si vous n'êtes vraiment pas convaincu, essayez de trouvez un nombre réel entre 0.999... et 1 qui contient un développement décimal infini.
On va bien rire.

[killihanma]

Ptdrr les purs matheux là, cette vidéo est plus à but éducative qu’une démonstration pure
C’est un réel sensé touché un public plus large alors vous énervez pas parce qu’il met des … au lieu d’écrire des séries ptdr

[DoxYzeEpic]

@Médématiques force à toi frr avec tous ces guignols qui comprennent pas des maths niveau 2nde ça doit pas être facile de réexpliquer à chacun pourquoi ta démonstration est vraie XD

[DragonFly.Studio]

Bonjour, et aujourd'hui quelle est le plus performant entre midJourney et dream studio ?

[raphaelpavie]

C'est la première fois que je comprends un truc en maths

[hermite]

Bonjour, je pense que votre argumentation est théoriquement vraie mais conceptuellement faux.

On peut écrire que 1/3 = 0, 333... Parce que c'est un nombre infini et qu'il est impossible de l'écrire entièrement, mais on ne peut pas écrire une égalité où "3 × 1/3 = 3 × 0, 333...", vu que c'est un nombre infini, ça serait comme écrire que 1 = 1/Infini, ça n'a pas vraiment de sens conceptuellement.

Et même si on cherche une limite à ce nombre 1/infinie on trouve qu'elle se rapproche de plus en plus de 0, donc ça voudrait dire que si on se tient à l'égalité 1 = 0 ?

Et même si on dit que 1 = 0, 999... Et ben c'est une inégalité vu que 0, 999... ne sera jamais égale à 1, il se rapprochera à l'infini de 1 sans jamais l'atteindre.

Donc moi j'appelle ça une grosse connerie encore pour nous faire réfléchir sur des choses totalement farfelues parce que c'est soit disant "savant", c'est comme si on disait qu'il était possible de passer l'aspirateur sur la plage, ou de vider les océans avec une cuillère 😂, c'est possible dans la théorie mais personne ne sera assez stupide pour le faire vraiment.

Bref, sinon j'adore tes vidéos car elles renvoient toujours à un débat c'est hyper intéressant, continue 😁

[jeremydoucet]

Je connaissais pas cette démonstration là🙂. Ça m'énerve aussi mais malheureusement c'est bel et bien valide mathématiquement donc ne restons pas fans le déni et grandissons ensemble🙃

[imarandomperson]

Une démonstration que j'ai vue aussi c'était x/9 = 0, xxx... si x est un entier naturel inférieur ou égal à 9, donc:
1/9 = 0, 111...
2/9 = 0, 222...
...
8/9 = 0, 888...
9/9 = 0, 999...

Hors un nombre divisé par lui-même est toujours égal à 1, donc 0, 999... = 1