О решении уравнений в целых числах

Сегодня мы разберем способ решения линейных уравнений и систем линейных уравнений в целых числах, сравнив его со старым способом, которым мы уже неоднократно пользовались. Способ будет без доказательства.
В качестве литературы можно использовать книжку В.Серпинского "О решении уравнений в целых числах", однако сегодняшний алгоритм лежит все же за пределами книги.
Доказательство сегодняшнего алгоритма можно найти в книжке Ю.Нестеренко Теория чисел.
Читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика

#прочисла #решениеуравненийвцелыхчислах

[СергейАлтунин-дл]

Вы великолепно подаете материал. Интересно смотреть и слушать.

[prel]

Вы великолепны, не перестаю удивляеться. Несмотря на сравнительно небольшую аудиторию (для такого качества видео как у вас) здесь собраны пыливейшие умы. Удачи вам в продвижении! ❤

[Santa_murai]

Было бы классно, если бы вы выпустили видео с доказательством этого алгоритма ( почему нужно приводить матрицу именно к такому виду и тд), или же можно было бы узнать методы решения не только линейных уравнений в целых числах, если можно конечно. Спасибо!

[marinachutskova]

Здравствуйте, спасибо большое. Очень содержательно! У вас есть аккаунт в ВК?

[alexsokolov]

Хм, похоже, что стратегия поиска единицы в целочисленных системах работает только если НОД коэффициентов в каждой строке равен 1. В противном случае надо или поделить на этот НОД и сделать вывод по аналогии с двумерным уравнением, или же искать столбец, где получится этот самый НОД.

А ещё для случая одного уравнения может получиться так, что после деления мы не найдём переменную с коэффициентом, равным 1 по модулю, но поскольку коэффициенты стали меньше, мы снова выберем среди переменных ту, у которой стоит коэффициент, наименьший по модулю, и провернём описанную процедуру заново. То есть мы в любом случае придём к единице)

[Santa_murai]

во втором примере у меня получилось y=h, z=2h-1, x=(11+4h-7)/4. Где h -- целое число, я подставлял вроде правильно

[ЮрийГеймор-щч]

Спасибо! Интересный метод. А в каких практических задачах
Такие системы применяются, с целочисленными решениями,
Скажите пожалуйста. 🤔

[Santa_murai]

последнее задание: x=1+3k+20l, y=-1-12l, z=-1-2k-19l, w=-k.Где k и l -- целые числа.

[Santa_murai]

51:47 не можно было бы умножить первый столбец на 4 и прибавить к второму?

[Santa_murai]

по домашке, 1) у меня получилось x=1-3l+5k, y=1-3l+6k, z=l где k и l -- целые

[яучусь-оы]

а если у меня имеются ручки, тетрадки, карандаши, ластики, линейки, циркули, желание, стремление. Возможно ли в таких условиях стать призёром олимпиад физтех или ломоносов?

[ЮрийГеймор-щч]

Что-то я не пойму, вроде всё правильно делаю, по методу,
А ка-иксовые во втором уравнении не обнуляются при проверке в системе:
2x+3y--7z=9 и 4x--5y=3, остальное всё обнуляется🤔

[Santa_murai]

второе задание, по моему там нет целых решений