Простая разность кубов ▶ №250 (Блок - интересные задачи)

Разбор интересной задачи.

[DmitriyFinozhenok]

m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2). Так как m^2 + mn + n^2 > 2, то существует единственное разложение m - n = 1 и m^2 + mn + n^2 = 61. Так как m^2 + mn + n^2 = (m - n)^2 + 3mn, то mn = 20. Так как это произведение последовательных чисел, то ответ 4 и 5.

[Артьомдругартем]

Числа m и n.
Разность кубов это разность чисел, умноженная на неполный квадрат суммы.
Разность равна 1.
Т.е. m=n+1
Система
m^2+m*n+n^2=61
m=n+1
m=5. n=4

[Артьомдругартем]

Тут интересная проблема возникает, а для каких же разностей существуют решения, и когда оно одно(например, когда разность простое число), , а когда два.

[pojuellavid]

m>n
61 -- простое и m-n=1 --> 61= n^2+n*m+m^2 --> 3*n*(n+1)=60 --> n*(n+1)=20 --> n^2+n-20=0
один полож. корень n=4
Ответ: m;n={5;4}

[Milesius]

Начиная перебор, отметим, что по-скольку m и n отличаются друг от друга на 1, то m^2+mn+n^2 это 3 примерно одинаковых слагаемых.
Делим 61 на 3, получаем
Это число стоит между 16 и 25.
Потому проверяем сразу числа 5 и 4.
5-4=1
5*5+5*4+4*4=61

Задача решена

[Хомолэнд-жизньхомяка]

5 и 4
Разница слишком мала
Между 5 и 6 уже больше сотни
Между 4 в кубе 64... Маловато учитывая разницу 61. Посчитал 4 и 5... Дело на 30 снкунд

[Snuryus]

(a-b)(a^2+ab+b^2)=61
61 простое число, вторая скобка не может быть равна единице, так что первая скобка 1, а вторая 61.
Можно решить уравнение, но можно и сразу сказать что 61/3 будет чуть больше чем b^2. Тогда b=4, а=5. Проверяем - 125 - 64 = 61

[АлексейФурман-гъ]

Чудят комментаторы. Во-первых, по условию неизвестные числа натуральные. Значит, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... n, n+1, ... и никаких отрицательных. Во-вторых, куб растет очень быстро и разность кубов тоже растет нехило. Это заставляет подозревать, что если решение существует, то по заданной разности оно единственное и разность между неизвестными тоже очень невелика и равна 1. 5^3-4^3=125-64=61. Пара 4 и 5 подходит, а других не вижу. Не вижу также необходимости тащить в решение простоту чисел, разложение разности кубов на множители и т.п., за уши притянутые, соображения. Теперь посмотрим ролик, что думает сам автор о решении.

[astoa]

Интересная система получилась - дает простые числа. Пусть и не последовательные. На сколько ее хватит?

[СвободныйМатематик]

0 1 8 27 64 125...
1 7 19 37 61

Можно заметить что кубы различаются на
Е(1-х)*6+1
Где Е сумму всех чисел до х (вкл) где х номер куба
Е(1-х)*6+1=61
Е(1-х)=10
Е(1-х)=Е(1-4)
х=4
А лед 5

[safil]

Не люблю переборы :-)
Не аналитически как-то выглядит

[Генрих]

Ну до какой степени можно "разжёвывать" очевидные вещи! Не надо держать своих зрителей за дебилов!
Генрих

[DmitriyFinozhenok]

В решении автора небольшой недочет. 61 можно еще разложить на -1 * -61 и -61 * -1. Понятно, что как и во втором случае они не подходят, но это надо было показать.