Решение отборочного этапа олимпиады ФизТех 2022 (геометрия)

1)Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на его вписанной круга с площадью 6п sqrt(5) Найдите площадь треугольника.
2)Про многочлен P(x) четвёртой степени известно, что для любого вещественного x выполнено P(x) \ge 2x, а также P(2)+P(4)=12, P(3)=8. Найдите P(5).
3)Петя, Вася и Толя на уроке физкультуры по очереди бросают друг другу волейбольный мяч. Первым его бросает Петя. Найдите число способов, которыми мяч может вернуться обратно к Пете через 30 бросков (не обязательно впервые).
4)Два натуральных числа N и M имеют по 14 делителей: 1 = d1 \le d2 \le . . . \le d14 = N, 1 = D1 \le D2 \le . . . \le D14 = M. Известно, что M^3 делится на N и d2 + D2 = 115. Найдите d3 + D4.
5)Дан треугольник, у которого один из углов равен п/3, длина одной из сторон равна 1954 , а длины двух других сторон – это неизвестные натуральные числа. Найдите максимально возможное значение длин неизвестных сторон.
7) Какую минимальную ширину может иметь полоса, содержащая график функции y=((3x^3)/(4x^2+6x+36)
(Полоса — область координатной плоскости, ограниченная двумя параллельными прямыми)
8)Дана правильная четырёхугольная пирамида SKLMN и прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 в основании которого лежит квадрат ABCD. Плоскости основания KLMN пирамиды и основания ABCD параллелепипеда совпадают. Вершина A является серединой отрезка KN, вершина B1 лежит на отрезке SH – высоте треугольника KSL, а отрезки CC1 и SM пересекаются. Найдите объём пирамиды SKLMN, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 60 и AA1 : AB = 4:5.
9)Шахматную доску 118 × 118 клеток разделили на две части, как показано на рисунке (для примера изображена доска 8 × 8), после чего оставили только часть, обведённую красным цветом. Найдите число способов поставить на такую «треугольную» доску две одинаковые ладьи так, чтобы они не били друг друга.

[aakh]

"Икас" и "пай", "эй" и "би", ну и особенно "окей" конечно тоже из секретной Сталинской программы.

[iqidspe]

Решал по-другому последнюю задачу, и долго не мог понять почему ответ не такой как у вас выходит. Я исходил из того, что число клеток, которые "убивает" ладья, уменьшается от уголка к диагонали от 2n-1 до n, а кол-во таких клеток, наоборот, растет от 1 до n. Очевидно что всего клеток на поле Sn = n(n+1)/2. Далее очевидно, что выбрав такую клетку, мы оставили Sn-2n+k позиций, и таких клеточек у нас k штук. Просуммировал k*(Sn-2n+k) от 1 до n, и получил, что искомое число размещений есть Sn^2 - Если поделить на 2!, как раз получается искомое число сочетаний. Долго не мог понять, что посчитал каждую пару клеток дважды. Ваше решение тоже интересное, возьму на вооружение рекуррентные соотношения, красиво кокаются в конце

[svgkwjz]

капиталистический калькулятор использовать разрешено ?

[burchiktopchik]

Михаил Абрамович, а почему в задаче 11.5 не разбирается случай с прямоугольным треугольником? Или же это не имеет смысла?

[futurezeazy]

кстати у вас не будет проблем из за того что вы получается выкладываете решение задач в открытом доступе?

[TOMGEMANAR]

Значит можно найти угол без всяких данных чисел(ну имею в виду тангенс угла

[ivankaznacheyeu]

Если я правильно вижу, всё таки осталась одна неисправленная ошибка. В задаче с пирамидой и параллелепипедом отношение высоты к стороне -- лишнее данное. В ответе не нужен множитель 4/5, численно ответ получается другой, а в ответе в общем виде не нужен множитель k.

[filvfwd]

Может ли получится в задаче с функцией в полосе после производной один корень?

[persaud]

Здравствуйте! А как вы так посчитали производную на 14:13 ?

[sgrd]

Здравствуйте, можно ли узнать правильно ли мое решение в последнем( то есть что я делаю не так)?.Я делал так: получается я рассмотрел случаи по гипотенузам, т.е первая гипотенуза(или же диагональ) состоит из 118 клеток, если же поставить туда одну ладью она будет занимать 118 клеток то есть у нас 118*(119*59-118), 119*59-это сколько всего клеток. Для следующего 117(119*59-119) и так далее до 119*59-119. Хотелось бы узнать, что неправильно я сделал, заранее спасибо тем, кто ответит.

[barackobama]

не глядя. У первой задачи отнимем асимптоту 3/4*х и исследуем на экстремумы.

[OVENAsHome]

Задача 11.5 9:33 после проверки через теорему синусов максимальное натуральное значение невозможно.

[stormspirit]

Помогите пожалуйста, дана ограниченная функция, дифференцируемая функция на полуинтервале [0; +infinity) и так же на этом полуинтервале для неё выполнено неравенство f(x)*f’(x)>=sinx. Может ли существовать предел f(x) при х->+infinity

[justchannel]

Спасибо за разбор. Можно теперь сделать разбор отбора спбгу.

[barackobama]

Я променял девичий смех. На голос лектора занудный. На этот ё...ный физтех. На бл ский город Долгопрудный! эх....

[drillmaker]

как обидно, что в школе теперь такому не учат

[fominov_d]

График функции, где полоса, другой, не такой, как вы показали

[nukee]

В последней задаче получается дробное число
UPD Я протупил, все хорошо

[oqqrspg]

А можно разбор геометрии 9 класса, там последняя задача оч оригинальная