0,999999 ... = 1 ?

Est-ce que 0,999... (avec une infinité de 9) est égal à 1 ?
Cette vidéo apporte une réponse et met en place la notion de développement décimal propre d'un nombre réel.
Niveau première année d'enseignement supérieur scientifique.

Lien vers la vidéo sur la partie entière :

00:00 Introduction
00:38 Développement décimal d'un réel : première approche
01:26 Convergence d'une série du type sum (c_n * 10^(-n), n=1..∞)
04:19 Réponse affirmative à la question : 0,999... = 1 ?
05:08 Développement décimal propre (approche théorique)
09:13 Problème d'unicité, Nombres décimaux
10:29 Conclusion

[MathOSX]

Petite coquille dans l'énoncé de la proposition à 9:56
Les réels dont le développement décimal n'est pas unique sont les n / 10^p, avec p dans N et n dans Z (et pas N, sans quoi on ne récupère que les décimaux positifs ...).

[tfj]

Hello! Logiquement on devrait pouvoir dire d'une manière "absolue" que 10^(-x) pour x très très grand voire infini est ZERO... Non? Et si alors dans un triangle rectangle on trouvait une manière d'écrire ses 3 côtés comme rationnels même pour des aires entières du triangle qui ne sont pas censées être des nombres congruents et en fixant justement le nombre de zéros derrière la virgule des rapports rationnels afin qu'ils soient ainsi nommés car on assimilerait à zéro la partie décimale en éloignant à volonté l'apparition d'au moins une décimale autre que le chiffre 0...
Ne pourrait-on pas dire que tous les nombres sont congruents?
Dès lors que ces côtés rationnels "virtuels" mais VRAIS(au sens de décimales nulles en très grand nombre avant que pas...) selon une sorte de concept d'homogénéité décimale nulle...
Néanmoins le petit côté "a" serait extrêmement petit au point de parler d'une sorte de parallélisme virtuel des 2 autres côtés... Ce qui poserait en fait la question de la dimension des traits donnant des figures en posant ici la question de savoir à quel moment on parlerait de l'existence d'un angle TOUT COMME ce type de question concernerait PI vu qu'on ne sait pas où s'arrête l''extrémité du diamètre d'un cercle si on raisonne par rapport à l'épaisseur du trait qui les sous-tend. Le bout "carré" du diamètre s'arrêtant où par rapport à l'épaisseur du trait définissant le cercle? Ce qui explique vu un "flou" à ce niveau l'imprécision décimale de PI...
En tout cas pour les nombres congruents on n'a jamais dit qu'il devait y avoir un minimum de longueur à la valeur des côtés et que ce qui est demandé c'est 3 valeurs rationnelles tel que la moitié du produit des deux plus petit soit un entier surface du triangle rectangle qu'ils définissent tout en respectant Pythagore et la somme de 2 carrés donnant un troisième carré.

[nykho]

Bonjour, faire une sommation télescopique finie de laquelle on déduit la valeur de la limite d'une série géométrique en l'infini est il vraiment licite ?

[FabChamp]

Bonjour. Justement. Est-il, malgré tout, possible d'obtenir, sur calculette, un chiffre avec une infinité de 9 après la virgule ?... Par exemple,