Супер нестандартное уравнение. Олимпиада 11 класс

Чтобы не пропускать подобные ролики:

Телеграмм-канал который поможет закрепить Вам, полученные на канале, знания.

Пожертвования для канала:
Карта ПриватБанк - 5168742240262166

#математика #SimpleMath #

[vanya]

Если левую часть свернуть в квадрат разности, после преобразований получится сумма квадратов, раавная 0, а не 4. Так у меня получилось проще

[Alexander--]

Прибавляем к обеим частям 2 и получаем слева квадрат разности (y - 1/y)² а справа - минус квадрат разности -(x - 2)². Переносим правую часть налево и получаем, что сумма двух квадратов равна нулю. Отсюда выражения внутри каждого квадрата равны нулю. Дальше просто.

[closer_to_the_unknown]

Оценим левую и правую часть уравнения
Для левой части:
y^2 + 1/y^2 >= 2 (по неравенству о средних)
v^2 + 1/y^2 - 4 >= -2
Для правой части:
-x^2 + 4x - 6 всегда отрицательна, т.к. D < 0
Вершина параболы имеет координаты (2; -2)
Левая часть уравнения не меньше -2, правая не больше -2, значит решение есть тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны -2. С правой частью все понятно. Левая достигает минимума при y = +-1 (по все тому же неравенству о средних)
Ответ: (2; -1), (2; 1)

[simmmr.]

В танцах с бубном на 2:14 не было никакой необходимости, достаточно было использовать с самого начала квадрат разности, а не суммы ¯\_(ツ)_/¯
⇒ (y-1/y)²+(x-2)²=0 ⇒ x=2 и y=1/y ⇒ y²=1 ⇒ y=±1
Ответ: x=2 и y=±1

[alexneo]

Мне кажется перемудрил. Я проще решил. Надо было там где х, после того как в квадрат свернул, оставшееся число перенести к y. Получится y^2 + 1/y^2 - 2. А потом привести y к общему знаменателю и свернуть в квадрат. Получится ((y - 1) / y)^2 = - ( x - 2)^2. Тут уже легко понятно, справа отрицательно число, квадрат не может быть отрицательным, а значит, справа должен быть ноль. Левая часть так же равна нулю. И отсюда легко получаем 2 и 1, 2 и -1.

[lanazakharova]

Левую часть свернуть не в квадрат суммы, а в квадрат разности. Тогда легче получится

[РусланДиниц]

Если это 11 класс, то почему бы не использовать производную для нахождения минимума левой части и максимума правой? Получаем то же самое значение в обоих случаях (-2). Тогда наше решение - это значения (x; y), при которых производная обращается в 0. Т. е. (2; -1); (2; 1).
Ну, мы на уроке, вроде, так решали. Не совсем понимаю, правда, почему эту задачу сделали олимпиадной.

[ЛарисаФатенко-мс]

Все гораздо проще: сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна двум. Итого имеем минимум правой части равен -2 при У = плюс или минус 1. Максимум правой части равен -2 при Х = 2. Всё.

[ivormacky]

Какая олимпиадная, разве что школьная олимпиада, обычная задача со звездочкой, в нормально матклассе такая задача может быть и на обычной контрольной работе!

[mudcowzz]

Олимпиада для 11 класса?)) Я бы такое даже на 3 курсе института не решил, пройдя системы дифференциальных уравнений

[СергейИванов-юяю]

Такие задачи вроде бы решаются отдельно для правой и левой части

[borisbaydenko]

это стандартная задача на "метод стыка". Когда одна часть уравнения не меньше С, а другая - не больше С. Далее достаточно вспомнить ФСУ - и все просто

[Good_Morning_Musa]

Я вот не понял откуда взялось y + 1/y >= 2

[marshalaster]

Всеравно не понял почему первая скобка обязательно больше или ровна 4