Всесоюзная олимпиада школьников по математике 1978 года. Сможешь решить?

(х-7)² + (х-6)³ + (х-5)⁴ = 2

[AlexeyEvpalov]

Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.

[Alex-zz]

Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения

[ДмитрийМишин-еи]

При замене х-6=t, получаем после упрощений t(t+2)(t^2+3t+1)=0. Далее дело техники.

[LeonidArgail]

Это уровень упражнения повышенной трудности для 8 класса, а не всесоюзной олимпиады.

[MrEkokadr]

Запись первой строки недопустима при решении уравнений.Это же учитывается на олимпиадах.

[dinaranechaeva]

Лайк сразу, до просмотра, за один только пример на заставке)

[SergeyUstinenkov]

Ответ Х=6 получается за 1 секунду просто взглянув на задачу. Остальные ответы надо искать.

[Свободныелюди-лж]

Как хорошо что я не пошла учиться на физмат
А поступила на радиотехнический
От этой "голой" математики зачахла бы к окончанию учёбы

[mikhaildorservice]

Всю жизнь было интересно, кто эти задачи выдумывал

[ndpsgu]

Немного иначе решал: выразил В и С через А. Но, как я это люболю с детства, традиционно забыл про отрицательные значения при извлечении корня :)

[Milesius]

х=6 сразу бросается в глаза, а дальше фиг знает, снимаю с паузы, смотрю решение =))

[richardhuling]

Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.

[AlexMarkin-wc]

Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).

[ГлебВершков-ри]

я пошёл так
x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил:
t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))

[BroniVictor]

Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x

[mp]

Я раскрыл скобки, записал в стандартном виде и нашел корни методом Феррари. Кто сделал иначе, тот не мужик.

[ВалентинГорелов-фэ]

Очевидно, чтобы сумма трёх слагаемых была бы 2, надо чтобы два слагаемых были бы по единице, а третье 0 и это возможно при Х=6

[Свободныелюди-лж]

Аааа
Кто-то из четвертого измерения четыре раза "просунул" нечто в наше измерение.
Расположив это нечто на координатах х

[usikpa]

На самом деле решать надо, отнимая единицу от (x-6)^3 через разницу кубов

[Свободныелюди-лж]

Зачем четыре значения для х?
Что за процесс?
Какое то четвертое измерение подключилось?