Теория вероятностей 12: парадокс Бертрана

В окружности случайным образом проведена хорда. Какова вероятность того, что длина хорды больше радиуса окружности?

[alexey_burakov]

Спасибо за понятное и наглядное объяснение парадокса Бертрана

[malexx]

Я к такому выводу пришёл:
Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова).
В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу).

В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться ближе к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3 (кстати для первого варианта неправильно расчитана вероятность, 1/3 это вероятность хорд с длиной более корня из 3 при единичном радиусе - вероятность хорд длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника).

Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте, т.к. хорды проведенные во внешнем кольце попадают только на площадь этого кольца, а хорды проведенные в центральном круге попадают так же и на площадь кольца. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга. Хотя сами точки из которых проводятся хорды распределены равеомерно по площади круга, но условие что должны строить только хорды в которых эта точка является серединой, изменило равномерность распределения хорд по площади круга.

[РустемМухаметшин]

Парадокс раскрывает, что недостаточно сказать "случайная хорда", что кажется естественным. Нужно еще и указать, что именно в ее распределении случайно и по какой плотности распределения.
В ролике рассмотрены три варианта с равномерной плотностью распределения случайной величины. Трех разных случайных величин и закономерно разный результат.

[TAng]

Я четвёртый способ придумал: возьмём случайную точку на окружности, проведём касательную, от этой касательной проведём отрезок под случайным углом (0-90 градусов) внутрь окружности. Соответственно при угле менее 60градусов длина хорды будет меньше радиуса, т е вероятность уже наоборот: 2/3, что хорда меньше 1, и 1/3 что хорда больше 1 😂😂
По сути правильнее первый способ, как наиболее соответствующий условию задачи: окружность а не круг, более равномерно распределение точек

[arch]

РЕСПЕЕЕКТ, очень долго бился, вы мне помогли, спасибо!

[alexanderbender]

Мне кажется, разница между первым и вторым ответом, в том, что в первом случае, случайная точка выбирается на окружности, во втором случае - в круге. А теперь нужно подумать, где логика неравнозначности этих случайностей)

[igorkostin]

Представим себе фабрику, производящую деревянные кубики со стороной кубика от 1 до 3 футов.
Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь сторону от 1 до 2 футов, то получим очевидный ответ 1/2.
Если переформулируем вопрос и спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь площадь стороны от 1 до 4 квадратных футов, то получим ответ 3/8.
Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь объем от 1 до 8 кубических футов, то получим ответ 7/26.

[pompei]

"Парадокс" Бертрана - это не математических парадокс, а не доработка терминологии.

Здесь нету ни какого парадокса - здесь есть не совсем точные рассуждения. Вот смотрите: рассмотрим игральную кость. В ней выпадание 6 получается с вероятностью 1/6. Потому что есть 6 вариантов и нужный только один - поэтому и 1/6. Но есть мы мозьмём не кубик, а параллелограм, то вариантов тоже будет шесть, но выпадание 6-ки уже не будет 1/6 - думаю это очевидно. Если 6-ка будет на большей стороне, то вероятность будет больше 1/6, а если будет на меньшей - то меньше. Возникает вопрос, а как вычислить точную вероятность в этом случает. А в этом случае нужно знать распределение плотностей вероятности. Когда кубик - мы точно знаем, что все вероятности равнозначны, из-за симметрии. А если не равнозначные.

Получается, что в "парадоксе" Бертрана забыли указать как распределены плотности вероятностей распределения хорд. В первом примере ведущий сказал, что начальная точка равновероятно попкадает на окружность. А если нет. Во втором случает - равноверноятно попадает в круг. А если нет.

В самой задаче сказано, что ходы случайно распределены. Но это ни чего не значит. Термин "случайно" обозначает какое-то конкретное действие по выбору, в зависимости от объекта, к которому этот термин применён. Если мы говорим про игральную кость, то случайно обозначает, что мы должны кость подкинуть и сильно закрутить. Если же мы кость не будет подкидывать и закручивать, а аккурано ложить на поверхность - то это уже не случайно. НО это касается игральной кости. А если это касается объекта Х - то это обозначает, какое-то конкретное действие связанное с объектом Х. И этих действий может быть много. Что и произошло с "парадоксом" Бертрана.

[-Critical_Thinking-]

"Естественного" способа нет. В решениях распределения разные. Какое нужно распределение - тот способ и "естественный".

[fedorkrul]

В первом случае (метод двух точек на окружности) первая точка располагается на окружности случайным образом, а вторая уже нет. Это можно увидеть, если из первой точки провести бесконечное количество случайных прямых и рассчитать плотность вероятности пересечения окружности как функцию угла. Во втором случае (площади круга и кольца) математически не обоснован переход от переменной расстояния от центра окружности к ней же, возведенной в квадрат. Поэтому третий вариант точнее, хотя это нужно доказывать.

[ДмитрийНиколаев-кр]

Первый вариант сразу нет. Второй ближе к истине. Да второй. Опыты проводились? Какой результат? Почему выбрал второй, а не третий, по условию вроде как дана длина хорды, но вероятность распределена в площади круга, поэтому и считать вероятность надо через площадь

[UElectronix]

А в чём парадокс-то? Лишать систему степеней свободы и смотреть, как меняется вероятность появления системы в том или ином состоянии?

[АртёмКазарян-фж]

3-й способ единственно верный потому, что мы проводим хорду одним движением по прямой, при котором все остальные потенциальные хорды надо считать параллельными фактически проведенной. А значит достаточно провести перпендикулярную к хорде прямую (радиус или диаметр) и рассматривать точку пересечения с хордой как одномерную проекцию хорды на одномерное пространство всевозможных хорд

[rilshok]

Проведем мысленный эксперимент. Как и предлагает Алексей Фролов в смоем космическом комментарии, представим что наша окружность фиксированного радиуса расположен в центре бесконечной плоскости. Мы бросаем по две случайные точки на эту плоскость и проводим через них линию, в случаи если линия, чудесным образом, пересекает окружность, мы считаем что произошло случайное событие - возникла новая случайная хорда. Какова вероятность того что длина случайной хорды меньше радиуса? Как посчитать? Немного упростим. При построении очередной случайной прямой, мы всегда можем провести перпендикуляр к этой прямой от центра окружности. В свою очередь, очевидно, что наше событие возникает только тогда, когда точка пересечения перпендикуляра и прямой удалена от центра окружности не далее чем на радиус окружности. Также очевидно, что в случае если событие наступило, случайная прямая пересекает перпендикуляр (радиус) в случайном месте. Это рассуждение полностью сводится к третьему способу решения задачи предложенном в ролике. Также, я поставил численные эксперимент. Сходится.

[ДмитрийГончаров-об]

Мне кажется этот парадокс вытекает из нашего стремления рассматривать бесконечности так же как и простые числа. Между 0 и 1 столько же точек сколько между 1 и 1/2. А мы тут говорим: раз у нас дуга в три раза короче, то и хорд лежащих на ней в 3 раза меньше. Но это не так, там столько же хорд - бесконечность

[annasergeeva]

Ведь "имеется окружность", а не круг. Первый способ более правильный с точки зрения постановки задачи.

[КириллАнопченко]

Я тоже закодил. Но брал хорды выбирая две случайные точки на окружности. То есть, как в первом примере.
Считал уже не шестиугольником, а формулами, получилась одна треть на длительной дистанции. Из 10 000 попыток хорда была меньше единицы в 3325 случаях, и больше единицы в 6675.

[СайёдбекТураев]

Все варианты правильные. Зависит от того, какой выбрать метод подбора точек. Мы упустили из виду, что мы ДУМАЕМ, что вроде одинаково бросаем шарики во всех трех случаях. Но это не так. Тут нужно изменить условия постановки задачи и выбрать конкретные условия и всё встанет на свои места.

[vhsplayer]

Хотел написать про 3 способ, потом просчитал вариант немного дальше и понял почему так: Типо представьте круг, закрашенный предположи черным цветом.Представьте корзинку для опытов(из которой очень удобно доставать хорды) теперь, я предлагаю разрезать этот круг на хорды с 0 толщиной(проще простого) и закинуть это все в корзинку, а потом закрытыми глазами как в лото доставать по 1.Очевидно, вероятность достать нужную хорду равна количеству хорд меньшей единицы поделить на количество всех хорд.Теперь главное: все зависит от того, как вы будете резать этот круг(кстати это очень точно доказывает, что число ответов в этой задаче не 3 как в видео, а бесконечность) Типо чтобы получить первый ответ, нужно чикать окружность прямыми, проходящими через 1 точку под всеми возможными углами(очевидно).Чтобы получить второй ответ можно, но построение не будет подобным тому, что делали в видео, т.к точек в круге очевидно больше чем хорд)чтобы получить третий ответ, нужно просто разрезать круг всевозможными параллельными линиями горизонту.Очевидно после любого разрезания будет оказываться, что вероятность равна количеству нужных хорд делить на количество всех хорд, т.к, повторюсь, мы все это бросаем в корзинку.Итог: все зависит от того, как вы будете резать.Кстати правило гласит, чтобы вы резали ТОЛЬКО ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ, а то получатся хорды больше чем 2R.

[Mlnus]

Гомотопия вам поможет. Так как вы рассматриваете разные пространства с точки зрения топологии.