Теория вероятностей #4: совместные/несовместные события, вероятность суммы событий

Дается понятие совместных и несовместных событий. Рассказывается как вычисляется вероятность суммы двух событий.

[dampling]

Спасибо. Я ученик 10 класса подписался на тебя давно, когда слушал курс по языку си. Я ни как не ожидал тебя увидеть в роликах по теории вероятности, которая мне нужна в школе. Ты все свои курсы обьясняешь вообще просто. Браво!

[АлексейТ-ры]

Задачу про сканнеры можно решить через диаграмму Эйлера, где круг > 2 лет находится в круге > 1 года. Нам нужно найти кольцо, т.е. из большего круга вычитаем меньший

[trimo]

14:38
Задача 1.
Решение в самом видео.

Задача 2.
Вероятности даны и они не совместные, так как не может быть, что попадётся два задания. Поэтому ответ будет P(A + B) = P(A) + P(B) = 0, 1 + 0, 35 = 0, 45. Примечание: в данном случае просто P(C) = 0 или P(A ∩ B) = 0; (∩ - знак пересечения)

Задача 3.
Подробное решение есть в этом видео. Вероятности даны и вероятность пересечения => формула P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0, 1 + 0, 15 - 0, 05

Задача 4.
Рассмотрим все возможные комбинации: (4, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2) => 4 благоприятных исхода, это и есть n; n = 4. Кубик бросают два раза. То есть m = 6 * 6 = 36; Теперь вычисляем по известной формуле P(A) = n / m = 4 / 36 = 1 / 9

Задача 5. (для меня оказалась самой сложной)
Представьте отрезок или начертите его, обозначьте точки равные 8, 7. Все значения даны, представим, что P(C) это ровно 8 задач. Тогда P(C) = P(B) - P(A) = 0, 73 - 0, 67 = 0, 06. Это, потому что по отрезкам видно, что (.)A > 8, (.)B > 7. А нам надо (.)C = 8, тогда (.)B больше семи, то есть в неё входит 8 и другие числа, а у (.)A больше восьми, в неё входит другие числа, не равные 8, поэтому мы вычисляем нашу вероятность по формуле выше.

[ПавелГолубев-по]

Как я не любил формулировки задач по теории вероятности, что в школе, что в универе
Задача про школьника с ромбами заставила меня достать листок бумаги
Можно иначе решить данную задачу. Главное понять суть... Может быть кому-то будет полезным для понимания

N - кол-во вопросов
R - кол-во вопросов по ромбам
О - кол-во вопросов по окружностям
RO - кол-во вопросов в которых затронуты две эти темы
y - вопросы на другие темы

N = R + O + RO + y

Вероятность того, что выпадет вопрос с ромбами
(R + RO)/N = 0.1 => R = 0.1*N - RO

Вероятность того, что выпадет вопрос с окружностями
(O + RO)/N = 0.15 => O = 0.15*N - RO

Вероятность того, что вопрос выпадет на совместную тему
RO/N = 0.05 => RO = 0.05*N

Получили два уравнения
R = 0.1*N - RO
O = 0.15*N - RO

Подставляем в каждое уравнение RO и получаем
R = 0.05*N - кол-во вопросов с ромбами
О = 0.1*N - кол-во вопросов по окружностям
RO = 0.05*N - кол-во вопросов по двум темам одновременно

То есть, вероятность того, что попадётся один билет по теме R или O или RO равен
(R + O + RO)/N =(0.05*N + 0.1*N + 0.05*N)/N = 0.2

[waydao]

Поставила на паузу и сама решила задачу про сканер, оказалось правильно 😌 как тут собой не гордиться))))

[НурсултанМирзагалиев]

Спасибо за задачу про школьнька !Хитрая задача, помогла закрепить знания.

[kosbarable]

Что-то подход в задаче со сканерами не выглядит верным. А - со штрихом вероятность что сканер сломается в первый год, С - вероятность что сканер прослужит более одного года но менее 2 лет, но что есть сложение А со штрихом (сканер сломается в первый год) и С? Это же взаимоисключающие вероятности, он либо сломается в первый год либо нет и прослужит больше года!

[chto_za]

Спасибо. Завтра пишу мцко, это должно пригодиться.

[nurlankalybekov]

Задачу про принтер может также решить графически в виде множеств.
P(A) - больший круг, P(B) - вложенный в него меньший круг. Найти P(не В и не А)
Так как Р(А) уже содержит в себе P(B), то окончательно формула будет

P(A) - P(B) = P(не В и не А)
=> 0, 96-0.87 = 0, 09

[nikburov]

не понимаю, почему в вопросе про сканер мы складываем вероятности, а не перемножаем. сканер не может проработать более двух лет, не проработав более одного года. если первый год переживает 96 из 100, то из них еще 90% переживают и второй год.

[Делакруа́-ыщ]

Переплетается с понятиями алгебры множеств - объединение множеств, пересечение множеств. А у зависимых/независимых событий есть какая нибудь аналогия или там достаточно определения "... влияет на вероятность другого события ", а вот поди узнай может она и не влияет - нужен строгий формализм )

[maniaklovelyyy]

а разве задача про сканер не на совместные события? оно ведь как раз может произойти совместно...

[АлександрКазбеев]

анализ условия задачи 2
... в задаче 2 1) события Аи В - успешная работа сканеров соответственно более одного года и более двух лет,
не ограничена по времени, т.е. автор задачи считает, что им решена проблема вечного двигателля,
с заявкой на Нобелевскую премию. Можно было установить верхнюю границу наблюдения за сканерами,
к примеру, пять лет
2) пусть m, n, k работающих сканеров было соответственно на начало первого года, второго года и конец
временного промежутка наблюдения за работой сканеров. Тогда p(A)= k/m p(B)= k/n p(C)= n/m, где С-
успешная работа сканера более года, но меньше двух лет.
Сравним р(А) и р(В), т.е.дроби k/m и k/n с одинаковыми числителями; т.к. n не может првышать m ( сканеры с течением времени ломаются) , то первая дробь
не больше второй, что противоречит условию задачи 2: р(А)= 0, 96 р(В)=0, 87.

[ArabsssssBaghdadiiiii]

ПОЖАЛУЙСТА ВСЕГДА СТАВТЬЕ СУБТИТРЫ‼‼‼🔆❇❇⁉⁉‼‼. ЛУЧШЫЙЙЙ

[АлександрКазбеев]

....о способах решения задачи 2
1) уровень 5 класса
необходимо знать определение вероятности события, уметь производить действия с обыкновенными дробями
Пусть события А, В и С - успешная работа сканеров соответственно более одного года, более двух лет и
более года, но менее двух лет; m, n, k работающих сканеров было соответственно на начало первого года, второго года и конец
временного промежутка наблюдения за работой сканеров. Тогда p(A)= k/m p(B)= k/n p(C)= n/m,
т.к. k/n * n/m=k/m т.е. р(В) * р(С)= р(А), то р(С)=р(А)/ р(В),
Ответ: р(С)=р(А)/ р(В),
2) иметь представление о условной вероятности события
Событие В проиаошло при условии, что произошло событие С, а итогом является событие А.
Применяя формулу для условной вероятности
р(В/С)= р(В*С)/р(С)= р(А)/р(С), получим р(С)= р(А)/р(В
Ответ: р(С)=р(А)/ р(В)
3) задача 2 является частным случаем задачи 1.1

. Вероятность работы прибора на временном полуинтервале (to, tk] ( k ∈ N, k≥2 ) равна р, вероятность работы этого прибора на полуинтервале (to, t1] равна р1, на полуинтервале (t1, t2]- p2, ..., на полуинтервале (t(k-1), tk] равна рк. Доказать, что р=р1*р2*р3*...*рк.

При к=2 р= р1* р2 р= р(А) р1= р(С) р2= р(В) о(А)= р(С)* р(В) р(С)= р(А)/ р(В)
Ответ: р(С)=р(А)/ р(В

[АлександрКазбеев]

Александр Казбеев КОММЕНТАРИЙ К ЗАДАЧЕ 2


Задача 1.1. Вероятность работы прибора на временном полуинтервале (to, tk] ( k ∈ N, k≥2 ) равна р, вероятность работы этого прибора на полуинтервале (to, t1] равна р1, на полуинтервале (t1, t2]- p2, ..., на полуинтервале (t(k-1), tk] равна рк. Доказать, что р=р1*р2*р3*...*рк. Доказательство: пусть в момент времени to было mo рабочих прибора, в момент времени t1 их осталось m1, в момент времени t2 осталось m2, ..., в момент времени tk осталось mk, тогда p1=m1/mo, p2=m2/m1, p3=m3/m2... pk=mk/m(k-1), в результате сокращения дробей мы получим p1*p2*p3* ...pk=mk/mo= p. Из того, что все множители не превосходят единицы, следует что р не превосходит каждого из них В задаче.2 это условие НЕ ВЫПОЛНЕНО! Задачу 2 можно решать, применяя частный случай решения задачи1.1, правильно расставив в задаче 2 числовые значения вероятностей событий, например, поменяв местами вероятности 0, 96 и 0, 87, тогда р(С)= 0, 87/ 0, 96= 0, 91, что, в отличие от 0, 09 хорошо соответствует здравому смыслу

[silibaka-pjpm]

Про совместные события при дартсе: почему мы не учитываем на сколько круги перекрывают друг друга? Типо при перекрытии стремящимся к нулю и полном перекрытии получаем одну и ту же вероятность

[waydao]

Да тут такие жаркие споры, хотелось бы все таки знать где можно посмотреть правильные ответы, а то не идет выработка дофамина от правильно выполненной работы, так как остаётся некоторая вероятность события "что ты не прав")))

[АлександрКазбеев]

...комментарий к задачв 2
... из 1000 исправных сканеров
на начало первого года к началу второго года их (исправных) останется, согласно вашего решения,
всего лишь 1000* 0, 09= 90, т.е. 1000- 90= 910 сканеров выйдут из строя (слоиаются).
Это невероятно, учитывая высокие заявленные вероятности их работы в течение длительных
сроков: р(А)= 0, 96 р(В)= 0, 87.
Не для того создавалась теория вероятности, чтобы получать такие, мягко говоря, странные результаты.
В большой обиде от составителей и решателей данной задачи останутся не только руководитель и
высококвалифицмрованные специалисты предприятия, но и сфера торговли, которая вряд ли примет такую продукцию.
В чём же проблема?
Вероятности о, 96 и 0, 87 хорошо соответствют определению, придуманного кем-то в обход классической теории, несовместных событий:
"События называются несовместными, если в ходе эксперимента они не могут происходить одновременно"
Возможны, по крайней мере, два варианта:
1) Вероятности о, 96 и 0, 87 подбирались под определение, придуманного кем-то несовместных событий
2) наоборот
Согласно классическому определению несовместных событий события В и С, рассматриваемые в задаче 2, не являются несовместными . "Тeория. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.
В классическом определении нет и намёка на " одновременность" событий. Классики теории вероятности
не придумывали определения " от фонаря".
Задача имеет несколько способов решения.Один из них:
Пусть на начало первого года было m исправных сканера, к началу второго года иих осталось n , а на конечный момент наблюдения за сканерами их осталось k.
.Тогда p(A)=k/m p(B)=k/n p(C)=n/m, тогда n/m= k/m/k/n т.е. p(C)= p(A)/p(B). Ответ: р(А)/р(В)
Проверим условие задачи: р(С)= 0, 96/0, 87 больше единицы.Значит условие задачи составлено неверно: р(А) не должно превышать р(В).
Вывод:
1) пользуйтесь классической теорией
2) правильно подбирайте начальные условия
3) правильно решайте простейшие задачи
желаю удачи
.

[АлександрКазбеев]

комментарий к задачв 2
"В общем, решение точно верное, здесь сомнений нет. Если у вас в подсчетах что то не сходится, то нужно просто сесть и аккуратно все пересчитать, должно сойтись."- аргументы в правильности вашего решения задачи 2 закончились?
Между тем в своём решении задачи 2 вы утверждаете, что событие, противоположное событию А это есть событие, что сканер прослужит
не более года. На самом деле событием, противоположным событию А (сканер послужит более года) является событие (сканер НЕ прослужит более года), что сразу ставит крест на всех вашших последующих алгебраических выкладках.
Желаю успеха в изучении основ теории вероятности.