Задача АРХИМЕДА ★ Доказать, что площадь сапожного ножа равна площади круга

@arinablog наш семейный канал
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Доказать, что площадь фигуры, ограниченной тремя полуокружностями (площадь «сапожного ножа»), равна площади круга с диаметром BD ⊥ AC.

[wttvtlp]

Будем честны - мало кто понял, что сейчас произошло, даже условие. Но мне стало интересно и я хочу подробнее разобраться в этой теме. Спасибо. Вы сделали так, что теперь мне хочется изучить по большей материала, чтоб самому понимать и решать, что-то подобное, а у меня совсем не было настроения, но этим прекрасным видео вы мне его подняли. И снова, благодарю.

[servenserov]

Красивая задача! Я сразу увидел прямоугольный треугольник ADC c высотой DB. Дальше – просто, в точности, как у автора. Спасибо!

[alvaro_sann-]

Ненавижу себя за то, что поленился вникнуть в задачу и начал смотреть видео. А ведь я бы её решил, лёгкая.

[and_]

Хорошое и понятное объяснение и решение. Осталось узнать теорему о проекциях.

[jxckzy_]

формулы восьмого класса. спасибо, Валерий, за объяснение!

[muzwkjl]

Валерий, спасибо за видео! Как всегда, логично, доступно и понятно. Но в этой конструкции есть и вторая часть, площади криволинейных треугольников ABD и CBD (между дугами окружностей с общей стороной BD), насколько я помню, равны (при любых радиусах маленьких кругов). Было бы любопытно увидеть и это доказательство

[eminemin]

значение диаметра ВД можно определить следующим образом:

если угол АОД равен х, где О центр большой окружности, то угол ДСВ = х/2, а угол ДАВ = 90-х/2... тогда
ВД = d1×tg(90-x/2)=d1×ctg(x/2), и с другой стороны:
BД = d2×tg(x/2),
перемножаем обе части двух уравнений и получаем:
ВД^2 = d1×d2×ctg(x/2)×tg(x/2),
ВД = ✓(d1×d2),
тогда радиус малого круга равен
r = ✓(d1×d2)/2
а площадь малого круга равна
S = πr^2 = π×d1×d2/4

[vgbiuvx]

Отличная задача, что там условие понимать, условие понятное, решение тоже. Задача на знания снова.

[Timophey_Miller]

Отличное объяснение, сразу всё понял.

[pjlochr]

Я как-то иначе себе сапожный нож представлял. Буду знать.

[buff]

Спасибо за видео!!!
Очень красивая доказательство
я так же доказал

[konstantinkurin]

вторую часть также можно решить следующим образом: квадрат диаметра круга d3 выразить по теореме Пифагора как разницу квадрата гипотенузы (а это радиус большего полукруга R) и квадрата катета (а это разница R-d1). Результат будет тот же.

[nikitas]

ха, не зря все таки смотрел ролики MindYourDecisions, кстати, я дорисовал полный круг, и симметричную d3, а потом через подобие треугольников

[zbmtgiv]

Красиво. Лаконично. Интересно Архимед так же доказывал или что-то другое придумал? Например, через закон его же имени, а?

[fqyxumc]

Я не понимаю, почему другие не понимают, в 9 классе недавно была эта тема, даже к доске вызвался решать задачу на луночки Гиппократа

[igortmkrtchn]

Можно нагляднее, без свойства пропорциональности, используя только Пифагора:
AD² = d1² + d3²
CD² = d2² + d3²
AD² + CD² = d4²
d1² + d3² + d2² + d3² = d4²
² = (d4² - d1² - d2²)/2

[Alexander--]

Я сделал чуть проще. Площадь полукруга пропорциональна квадрату его диаметра: S = kd². Коэффициент пропорциональности k можно при желании выразить через π (k = π/8), но это необязательно. Тогда площадь ножа равна k((a + b)² - a² - b²) = 2kab, где a и b - длины соответствующих отрезков. Площадь же круга равна удвоенной площади полукруга, т.е 2kab (предварительно доказываем, что квадрат его диаметра равен ab). Отсюда мгновенно получается нужное равенство.

[hleba_kusok]

Интересно... Задачи становятся всё интереснее и интереснее.

[umgnhsf]

Кстати вроде же это не совсем задача Архимеда. Вообще эта штуковина из трёх диаметров называется абрелосом. Задача Архимеда требует доказать, что окружности, вписанные в криволинейные треугольники ABD и СBD равны. (Для первой фигуры, если что, криволинейным треугольником является дуга AD + сторона BD+ дуга AB, для второй аналогично)

[zkwgidh]

Видео не смотрел. доказал сам. Легко )