Векторный метод для решения задач на доказательство

Задача 1) Вывести формулу диагонали квадрата через длину стороны векторным методом
3адача 2) домашняя: Вывести формулу диагонали куба через сторону векторным методом
Задача 3) Вывести формулу, связывающую длины диагоналей параллелограмма с длинами его сторон ( "Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна квадрату удвоенной сумме квадратов его смежных сторон") векторным методом
Задача 4) домашняя: вывести формулу, связывающую диагонали ромба с длиной его стороны векторным методом
Задача 5)* хард: Вывести формулу, связывающую диагонали трапеции с длинами её сторон векторным методом

Репетитор по математике для подготовке к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам Вера Александровна + 7 (923) 299 88 28

[marceldavidov]

Только хотел научиться в планиметрии, а вы выложили видео😊

[vadiquemyself]

решаю 5ую хард*)
“связать диагонали с длинами сторон” :

векторы сторон trapezoid’а — ab, ac, bd, cd, диагоналей — ad, bc

ab + bd = ad = ac + cd. (1)
cd + db = cb или cd – bd = –bc, bd – cd = bc,
ca + ab = cb или ab – ac = –bc, ac – ab = bc,
как результат
ac – ab = bc = bd – cd. (2)

что такое длина вектора? по определению, длина вектора в квадрате есть “•”-произведение (dot product) этого вектора с самим же собою, для примера
‖ad‖² = ad•ad

ad•ad = (ab+bd)•(ab+bd)
= ab•ab + ab•bd + bd•ab + bd•bd
= (поскольку ab•bd + bd•ab = 2 ab•bd) ab•ab + 2 ab•bd + bd•bd

ad•ad = (ac+cd)•(ac+cd)
= ac•ac + 2 ac•cd + cd•cd

bc•bc = (ac–ab)•(ac–ab)
= ac•ac + ac•(–ab) + (–ab)•ac + (–ab)•(–ab)
= ac•ac – 2 ac•ab + ab•ab

bc•bc = (bd–cd)•(bd–cd)
= bd•bd – 2 bd•cd + cd•cd