Почему: 0!=1? ★ Почему факториал нуля равен единице?

@arinablog наш семейный канал

[ValeryVolkov]

своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?

[vozay]

Факториал - это количество перестановок. 0 - это пустота. Сколькими способами можно переставить пустоту? Единственным.

[graa]

Программисты читают: "Почему ноль не равен единице?"

[topmoments]

Вот тот вопрос, на который ответ: Потому что!

[Jorick_]

Помнится, в какой-то там рекламе МТС тарифа супер-ноль фигурировало как раз 0! И я такой смотрю и думаю: "неее ребята, кого-кого, а меня не надуешь" )))

[YarBarDGAP]

Вообще n факториал это же ещё количество вариантов выбора. Можно же сказать, что из нуля вариантов можно составить только одно множество - пустое?

[alexandermorozov]

Можно в другом ролике ещё рассказать о гамма-функции. А также попробовать объяснить смысл факториала (гамма-функции) от нецелого числа?

[aisfleming]

Забавнее всего смотреть сразу после сессии. На вышмета считаешь коэффициенты бинома для дифур, при этом даже сомневаешься, что 3!/(0!*3!)=1, из-за напряжения от экзамена

[klimvv]

в далекие студенческие годы препод по вышке показывал доказательство того 0!=1. Делается это с использованием одной из интегральных функций (сейчас точно не помню, возможно гамма-функции)

[dolgorukysvyatoslav]

факториал завязан через гамма функцию как:
n! = Г(1+n), а вот уже по определению гамма функции выходит что Г(1)=Г(2). это также объясняет то, что существует факториал как от рациональных, так и от иррациональных чисел

[accountgoogle]

По сути факториал это прикладная разновидность гамма функции для натуральных чисел, которая определяется как Г(n+1)=n!. Гамма функция от 1 равна 0! и легко считается через интеграл

[ALARMusII]

Из начального определения факториала (первое уравнение) уже следует, что n>=1.

[m_stifeev]

Для формул, выражающих общий член ряда ещё полезно. Например e^x = sum from n=0 to inf of ((x ^ n) / n!)

[maksimvialkov]

Рекуррентная формула — это, конечно, хорошо. Но добавлю.

Можно еще обосновать алгебраически. 1 -- нейтральный элемент относительно произведения. Соответственно, для унарной операции факториала:

4! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4
3! = 1 * 1 * 2 * 3
2! = 1 * 1 * 2
1! = 1 * 1
0! = 1 * ← остался только нейтральный элемент относительно произведения, дальнейшее умножение отсутствует.

Кроме того, совпадает с Гамма и Пи-функциями: 0! = Γ (0+1) = Π (0) = 1 как вариантами расширений факториала на действительные и комплексные числа. Оговорюсь: существуют другие нестрогие расширения факториала на действительные числа, совпадающие с факториалом для строго положительных целых, но равные нулю в нуле. Т.е., вопрос конвенции, эстетики и "эргономики", простите.

Для комбинаторики: число перестановок пустого множества равно единице. Это наглядно видно на нулевом элементе множества сюрреальных чисел. Пустое множество можно переставить единственным образом.

Кроме того, упрощает запись разложения экспоненты в ряд для неотрицательных целых показателей:

exp(x) = sum[n=0, infty][(x^n)/(n!)] . Для неотрицательных целых показателей действует конвенция 0^0=1 . Для действительных, отрицательных целых, рациональных и комплексных показателей конвенция 0^0=1 уже не действует, но может действовать 0!=1 . В результате чего:

exp(x) = 1+sum[k=1, infty][(x^k)/(k!)] (сокращенно от exp(x) = 1/(0!)+sum[k=1, infty][(x^k)/(k!)] ).

Rem: нет, для действительных чисел нельзя принять 0^0 = 1, потому что a^b =exp( b * log (a)), а log (a) в нуле не определена.

[nikitaserov]

Выведенная формула работает для любого числа возрастающей последовательности от 1 до n, но для 0 эта последовательность просто пуста, так что ответа в буквальном смысле нет по определению функции. Это всё тоже на уровне рассуждений, но мне кажется что факториал 0 - вопрос определения, где факториал - это кусочно-заданная функция, а необходимость определить отдельно факториал 0 вполне вероятно была чисто технической, чтобы где-то избежать деления на ноль.

[ВикторМ-вэ]

Тот, кто хочет углубиться - читайте про гамма-функцию. От нуля и выше гамма-функция непрерывна. В целых значениях аргумента значения гамма-функции совпадают со значениями факториала.

[anatolychernik]

А теперь подставим n=0 и на моменте "поделим всё на n" объяснение ломается.

А логическое объяснение строится исходя из логического объяснения факториала: это количество возможных вариантов произведение какого-либо действия над N количеством предметов.

Например:
у нас 3 предмета, пронумеруем их 1, 2, 3. Тогда, чтобы над каждым предметом произвести действие, у нас есть 3!=6 варианта:
1)1, 2, 3; 2)1, 3, 2; 3) 3, 1, 2; 4) 3, 2, 1; 5) 2, 1, 3; 6) 2, 3, 1.

Но если у нас 0 предметов, то сколько действий мы можем произвести - 0. Сколько способов - в целом, существует лишь 1 способ совершить 0 действий над 0 предметами. Поэтому 0! Это 1🤔

[hirokitokuyama]

Помимо определения факториала аля n!=n(n-1)! в пользу тезиса о том, что 0!=1 говорят свойства различных комбинаторных функций и сопряжённых с ними вещей

[Abdulhamidov_A.S.]

n!=(n-1)! •n. Подставим n=1. Получаем 1!=(1-1)!•1. 1!=1. Итак, 1=0!•1. 1=0!. ЧТД.

[Alexander--]

Это просто следует из рекуррентного определения факториала:
1! = 1;
(n + 1)! = n!*(n + 1)
Откуда подстановкой сюда n = 0 легко определяется, что 0! = 1.
Рекуррентное определение математической операции оказывается очень удобным: таким же образом можно определить и такие простые операции, как умножение или сложение и даже сам натуральный ряд чисел (это сделал ещё Пеано в XIX веке).
Чем-то похоже на метод математической индукции.