5 FORMAS DE VER QUE 0!=1

El factorial de un número natural se define como la multiplicación de todos los números menores o iguales a él, hasta llegar al 1. Con esta definición, no queda muy claro qué podría ser 0 factorial, no tendría mucho sentido, ¿no? Porque no hay una secuencia de números menores a 0 hasta llegar a 1.
Pues en este vídeo voy a daros 5 motivos que nos indican que, si el factorial de 0 es algo, el valor más indicado es, sin ninguna duda, el número 1.

[MatesMike]

Me he venido arribísima con la música de este vídeo xD

[elvertedero]

4:55 no Noether, no te pongas triste, ver un 1/0 da tristeza, pero un 1/0! esta perfectamente bien.

[thejuezguro]

¿5 demostraciones y ejemplos con gatos? Que buen servicio.

[filibertosantillan]

Si gritas cero lo suficientemente fuerte, se hace 1
0!=1

[koemiren]

Cuando sea grande quisiera enseñar la matemática como usted, se que lo voy a lograr

[therandompeeters]

Me he quedado 🤡🤡
Cuando he leído " 5 Formas de demostrar que 0≠1"
_Y yo BRUH, Que te pasa..., ya se que 0≠1_
Y esque en la informática [ != ]=[ ≠ ]

[tonaxysam]

Para quien le parezca sorprendente de donde sacaron la función Gamma de Euler. Voy a intentar explicar el razonamiento que creo que llevó Euler al descubrirla, no necesitan saber cálculo para entender la explicación. Pero si lo saben, tendrán claras muchas más partes.

Yendo hacia la rama del cálculo, lo que queremos es una función que cumpla:
f(x + 1) = (x + 1) * f(x), el problema es que x no está limitado solo a los naturales, si es posible, queremos todos los reales positivos.
También hay que añadir la condición de que f(1) = 1, para que la función sea igual al factorial en los naturales.



Si no sabes que son derivadas e integrales, no te preocupes, son solo funciones que se sacan de otras funciones.



Se sabe que e^x es igual a su derivada y a su integral.
Lo anterior implica que la integral indefinida de e^(-x) = -e^(-x).
Que si lo evalúas de 0 a infinito, como e^(-x) es básicamente 0 para x muy grandes, abusando un poco del lenguaje, puedo decir que -e^(-infinito) = 0. Eso es muy poco riguroso, pero confía en que los matemáticos lo tienen cubierto mejor. Y como e^(0) = 1 (todo número x elevado a 0 da 1) tenemos que - e^(0) = -1.



La integral desde un número cualquiera "a" hasta otro número cualquiera "b" de una función f, es F(b) - F(a), donde F es lo que llamamos la "integral indefinida" de f. Otra función, vaya.

Luego, la integral de 0 a infinito de e^(-x) dx = [-e^(-infinito)] - [- e^(-0)] que ya vimos arriba que es 0 - [-1] = 1. :v Esto será importante luego.



La derivada de una función de la forma z^(x+1) con respecto de z es (x + 1) * z^x, muy parecido a lo que buscamos.

De hecho, si tomas f(x) = z^x, donde z > 0, z no igual a 1.
Tienes que:
f(x + 1) = z^(x + 1) = z * z^x = z * f(x)
Estamos muy cerca, si tan solo pudiéramos clavar ese z para que fuera igual a x + 1.



Si intentamos el mismo truco, de tomar la integral indefinida de z^x dz desde 0 a infinito. Resulta que z^x es muy grande cuando z toma valores muy grandes. Así que si hacemos (infinito)^x eso es prácticamente infinito (de nuevo, estoy abusando del lenguaje, pero los matemáticos lo tienen cubierto mejor, tranquilo), como arreglar esto...


Bueno resulta que si tu comparas la función t^x con la función e^t. La segunda crece mucho más rapido cuando pones valores muy grandes para t. Pensemos en por qué podría darse esto.

Digamos que x = 4. comparemos la función t^4 con la función e^t. Por el teorema fundamental de los ingenieros, e = 2, así que e^t = 2^t (en realidad e^t es mas grande que 2^t, pero sigue conmigo xd). Veamos que, para un valor cualquiera de t, digamos, 5, 5^4 = 5 * 5 * 5 * 5, y 2^5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2. Y si, en este caso 5^4 le gana a esos pobres 2, pero recuerda que queremos saber que pasa cuando t toma valores muy grandes. Si tomamos t = 100, 100^4 = 100 * 100 * 100 * 100. Mientras que 2^100 es una monstruosidad, multiplicas 100 números 2. Para que te hagas una idea de lo grande que es, 2^7 = 128 que ya es mayor a 100. Así que multiplicar 7 números 2, cuatro veces, es decir (2^7)^4 = 2^28 = (128)^4 ya es mucho más grande que 100^4. Y esos son pocos números 2 en comparación a todos los que hay en 2^100.



Entonces, cuando t es muy grande. t^x siempre es pequeño en comparación a e^t. Aquí está la magia, que tal si tomamos (t^x)/e^t. Pues que para t muy grande, te queda
(grande)/(MUY GRANDE) = pequeño. Es decir que a diferencia de antes, cuando t es muy grande, este valor no explota hacia el infinito como antes, si no que se queda pequeño, de hecho si t = infinito, (infinito^x)/(e^infinito) = 0, (otro abuso más del lenguaje, pero tranquilo, los matemáticos lo tienen cubierto).



Por propiedades de los exponentes que no voy a explicar aquí, 1/e^x = e^(-x). Puedes buscar el porqué de esto (pista, 2^(x + y) = 2^x * 2^y, toma x = -1, y = 1).
Así que (t^x)/(e^t) = t^x * 1/e^t = t^x * e^(-t), ¿se te hace familiar?

Ah por cierto, si pones t = 0, la función te queda 0^x * e^0, que es 0 cuando x no vale 0.



Finalmente, estamos listos para definir nuestra función soñada.


f(x) = la integral desde 0 hasta infinito de t^(x - 1) * e^(-t) dt. Veamos si cumple las 2 condiciones que queremos.



Si x = 1. t^(1 - 1) * e^(-t) = t^0 * e^(-t) que de nuevo, por propiedades de los exponentes que no explicaré, t^0 = 1 (de nuevo, la misma pista de antes). Así que te queda
1 * e^(-t) = e^(-t).

Luego, f(1) sería la integral desde 0 hasta infinito de e^(-t)dt. Pero ¿recuerdas que nosotros ya sabemos calcular esa integral? lo hicimos al inicio, vale 1. Es decir que
f(1) = 1. Vamos bien.


La otra condición no la puedo probar aquí porque necesito herramientas del cálculo, pero resulta que si se cumple. es decir
f(x + 1) = (x+1) * f(x). (Pss, si sabes de cálculo, puedes probarlo cuando x es un número natural con integración por partes.)

Los más avispados habrán notado que en el vídeo se menciona que f(x + 1) = x!, así que técnicamente lo calculado aquí fue el 0!, y de hecho, si toman f(2) este no da 2; da 1, que también cumple con que f(1 + 1) = 1 * f(1) = 1. Una forma de arreglar esto, es cambiar el t^(x - 1) por un t^x, asi si, la nueva función g tendría que g(x) = x! para los x naturales. Y en este caso, siguiendo una demostración parecida a la anterior, g(0) = f(0 + 1) = 1, es decir que g(0) = 0! = 1. Si esto no es bonito, yo no sé que puede serlo :3.

Y lo mas genial, es que esta función está definida para cualquier x positivo...

Aunque te estarás preguntando, que significa tomar un número como el 2, y elevarlo, por ejemplo,
a (1/2). ¿Multiplicar 1/2 veces el número 2? Como tiene sentido algo como 2^(pi) * e^(-2). Bueno, esa es otra historia :3

[adri]

Esperando por esta maravilla, justo hoy fuí a hacer una charla a los de 4t sobre el bachillerato (soy de segundo de bach) y les dije que si realmente les gustaban las mates se pasaran por tu canal

[cunchoman]

Brillante como siempre!
Como buen estudiante de ingenieria pensaba que 0!=1 porque se definia asi y nunca me lo cuestione 😂. Me encanta como este canal profundiza en cosas que creiamos simples y no lo son o tienen muchas mas implicancias de las que normalmente se conocen. Mi favorito de mates

[jaimestewart]

Forma número 6 de demostrarlo siendo un ingeniero : 0! = 1 CREANSELO

[leonardomendez]

La música era como de pasarela de modas y desfilaban bellas razones por las que 0!=1 jajaja. Excelente vídeo :).

[theJakeUwU]

-"Esto seguramente pondría contenta a Noeder"
-Aparece una carita triste ):

[mmerlo]

Aunque se nota la influencia de 3blue1brown, has conseguido un buen canal de divulgación. Te felicito.

[polflorezviciana]

Muy buen vídeo sobre factoriales.

Me gusta el 2º motivo, donde haces pasos de división y donde el cero factorial debería de ser 1/1=1.
En este motivo le podrías dar mucho sentido a esto pero el factorial es un conjunto de sumas y multiplicaciones que haciendo la ecuación contraria sale lo que dices.

Yo soy de los que piensa que 0!=0

Esta definición N!=N·(N-1) no es exacta, ya que haces pasos restando en la ecuación, cuando factorial es la suma de varias multiplicaciones, donde esto del factorial es un conjunto de sumas y de multiplicaciones no de restas y multiplicaciones, y las ecuaciones empiezan por 1 ya que todo por 0 es igual a 0 y a demás esta definición es mejor así:
N+1!=N·(N+1). donde aquí describo todos los casos menos el del 1 que ya se sabe que es 1
Aquí el 1 y el 0 es cómo si no existieran, que es por eso que 0 vale 0 y 1 vale 1 ya que en realidad no empiezas por el conjunto vacío 0, donde empezar, empiezas, desde la primera multiplicación de algo por algo 1·2=2!...
Así 0!=0 igual que 1!=1 ya que al empezar, no empiezas por un conjunto vacío ( el del 1 no cuenta ya que 0·1=0 y no a 1·1=1 donde 1! es un elemento inicial que es en el que empezamos a multiplicar por algo ).

Un saludo.

[kevinibarravera]

En el desarrollo del Binomio de Newton tb se hace necesario que 0! = 1, para que la fórmula se cumpla. Es parecido a la definición de e por factoriales y la fórmula queda mucho más elegante, suponiendo al número combinatorio de n en 0 = 1 para el primer término.

[cabarrios]

El hecho de que las matemáticas deben mantener su coherencia interna aún cuando sólo haya demostraciones indirectas de sus afirmaciones parece inclinar la balanza ligeramente hacia el lado de que las matemáticas se inventan en lugar de que se descubren.

[crislll]

No hay mejor manera de comenzar el Dia, que esperar por un video de Mike n.n

[SaguanGB]

Genial, no prestar atención a mi clase de matemáticas para ver un video sobre matemáticas xD

[eddypalomino]

Creo que veré este canal más seguido, me servirá para Ingeniería jaja.

[wikivoto]

Buenos días,
Soy estudiante de matemáticas y la respuesta es que el factorial 0!=1 por convenio (osea es una definición y no hay forma de demostrarlo). Sí que es verdad que los matemáticos eligieron que 0!=1 por los motivos que tu has explicado pero esto no es una demostración del hecho simplemente son argumentos para que se de esta definición. Se podría dar una definción alternativa también por convenio pero está no cumpliría la mayoría de reglas que cumple el factorial y por lo tanto tendríamos de excluir el 0! de estos resultados.