Производящая функция чисел Каталана

Мы находим производящую функцию чисел Каталана, сворачивая степенной ряд, коэффициентами которого являются эти числа, в компактное аналитическое выражение. Затем мы снова раскладываем это выражение в степенной ряд, воспользовавшись формулой для бинома Ньютона, и в результате находим формулу, выражающую каждое число Каталана через его номер.

Ключевые слова: рекуррентная последовательность, generative function

[fhtagnfhtagn]

На ровном месте из общих свойств вывелась общая формула, чудеса!
Veritasium в ролике про число Пи рассказывал как Ньютон использовал свой бином не с натуральной степенью, а с рациональной (1-x^2)^0.5, что позволило подсчитать число Пи сильно точнее и сильно быстрее, чем его предшественникам, развлекавшимся с (2^32+1)-угольниками.

[IT-ljnb]

Спасибо за ролик! Благодаря таким видео, всё больше влюблюсь в математику

[noname_]

Есть ли какой-то общий способ как из рекуррентной записи перейти к аналитической

[canniballissimo]

Чуть-чуть оффтопа. Вчера был квиз на школьные темы и там был эпизод вашего ролика про закон Кулона. Показывают одноимённые и разноимённые заряды. А надо было вспомнить фамилию учёного, то есть как раз Кулона. Мы написали Ом :( Очень обидно. Но всё равно затащили. Простите меня! Один из любимых каналов, а я вот так не вспомнил.

[AlekseiMechanics]

C_n = C^(n-1)_(2n-1) - C^(n-2)_(2n-1), где C^k_n - число сочетаний из n по к