Хитрая супер ЖЕСТЬ ➜ Решите уравнение ➜ [x²]=[x]² ➜ Олимпиадная математика

[getention]

Вауу! Это тема достаточно интересная! Думаю вы в ней очень сильны! Очень сильная задача и очень мощное решение! Спасибо за решение!

[Koshelevvitaly]

Здорово! Восторг и восхищение! Спасибо, красиво и понятно.

[suyunbek]

для лучшего понимания задачу можно дискретизировать и рассматривать постепенно сначала для рациональных, потом что для целых целая часть и само число это одно и то же.
в рациональных если рассматривать десятичные, то можно начать с тех у кого одна цифра после запятой.
0, 1 и остальные между 0 и 1 очевидно будут решениями, как и все числа между 0 и 1, но больше единицы и меньше двойки начинаются проблемы
1, 4 самое большая десятичная с 1 знаком, для которого выполняется [1, 96]=1^2,
между 1вкл и 2невкл всегда будет 1^2
тут нужно чтобы x^2 было меньше 2, 00=[1 ... √2]+1
1, 41^2=1, 9881
1, 42^2=2, 0164
√2=1, 41421356237...
в действительных числах получается x [1;√2)
между 2 и 3 нужно чтобы x^2<5, 00=[2 ... √5]+1
2, 2^2=4, 84
2, 3^2=5, 29
2, 23^2=4, 9729
2, 24^2=5, 0176
√5=2, 23606797749...
между 3 и 4 x^2<10, 00
3, 1^2=9, 61
3, 2^2=10, 24
3, 16^2=9, 9856
3, 17^2=10, 0489
√10=3, 16227766016...
и т.д. между n и n+1
x [n; √(n^2+1))

[andreybyl]

Двойное неравенство, к которому вы пришли перед рассмотрением двух случаев, получено как следствие решаемого уравнения, поэтому после его решения необходима проверка! а вы сразу ответ написали

[AlexeyEvpalov]

Сложная задача с простой формулировкой. Спасибо за подробный разбор решения.

[Яков-вр]

то есть Х = n, где n от минус бесконечности до + бесконечности включая нуль?

[silentlyow]

На самом деле, задача сложная, если решать в лоб как вы. А так по сложности 1ая, 2ая задача олимпиады 1-2 уровня. Не сложно понять, что правая часть принимает значения 1, 4, 9, ... (т е точных квадратов). Тогда можно рассмотреть случай, когда x равен n (n натуральнле) и k (такое что k^2=n^2+1) и там дальше все легко

[Eg-Pan]

то чувство, когда ответ равен единице... другое я бы не сказал, т. к. вообще не разбираюсь в математике для максимально продвинутых

[Drricca]

Валерий, а откуда Вы берете все эти задачи?
Прошу поделиться источником или подсказкой

[alexandrmironov]

Блин, условия задачи всего два символа, а решение аж на целую страницу и то без письменного конспекта озвученного. Да тут целую методичку можно написать, чтобы разобраться.

[RomanMisakyan-mgjl]

a pochemu v drugoy zadache vi proveryali chto n<=x<sqrt(n^2+1)

[СтаниславСерегин-рч]

Подходят все x из интервалов [n; корень(n^2+1)), где n - натуральные числа. Ну, а отрицательные целые - неинтересно, тривиально.

[wehgn]

Ни с бутылкой, ни без неё разобраться в этом невозможно😂

[teophil]

Очевидно что подходят все целые числа.

[shayrma]

Девять утра, самое то, чтобы мозг заработал)

[МаксимЭлектрик-ры]

Класс..
При проверке получил, что Х можно взять любым на интервале: [0; корень(2))

[mikaelhakobyan]

Валерий, по-моему чего-то не хватает. Когда мы заменяем [x] на n, разве не нужно доказывать, что для всех x в данном промежутке [x] = n? Как-то этот переход кажется неравносильным.

[МаринаПетухова-шф]

Зачем все это- мне не пригодилось, олимпиады выигрывала, а в жизни не пригодилось😂😂😂

[Bruh-bkyo]

Не особо понял, почему для отрицательных только целые, а не те же (-√(n²+1); n].
Взяв ту же -2.1: [-2.1]=-2, (-2.1)²=4.41
[4.41]=4
(-2)²=4
[(-2.1)²]=[-2.1]²

[QwDragon]

Я по-другому решил:
Пусть
n = [x], n in Z
x = n+y, 0 <= y < 1
Тогда:
[(n+y)^2] = [(n+y)]^2
[n^2+2*n*y+y^2] = n^2
n^2 + [2*n*y+y^2] = n^2
[2*n*y + y^2] = 0
[y * (2*n + y)] = 0
y = 0 || 0 <= y * (2*n + y) < 1
y = 0 || 0 <= 2*n + y < 1/y
y = 0 || n = 0 && y < 1/y || n > 0 && 2*n + y < 1/y
y = 0 || n = 0 && y < 1 || n > 0 && y^2 + 2*n*y - 1 < 0
Решаем квадратное неравенство:
D = 4*n^2 + 4
y = (-2*n (+-) sqrt(4*n^2 + 4)) / 2 = -n (+-) sqrt(n^2+1)
нужен участок между корнями
с минусом меньше 0, поэтому получаем
0 < y < sqrt(n^2+1) - n
Возвращаемся обратно:
y = 0 || n = 0 && y < 1 || n > 0 && 0 < y < sqrt(n^2+1) - n
Учитывая что sqrt(0^2+1) = 1 упрощаем до:
y = 0 || n >= 0 && 0 < y < sqrt(n^2+1) - n
Можно нолик тоже в неравенство закинуть, поскольку он для любых n:
y = 0 || n >= 0 && 0 <= y < sqrt(n^2+1) - n
Ну и это тот же ответ, что в видео, хотя я бы упростил до такого:
x in [n, n+sqrt(n^2+1)) union -n, где n in N0