Что больше: 50⁹⁹ или 99!

Сравниваем числа 50^99 или 99!
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Видеорешебник задач здесь:

[TheDoctorWOT]

решил в уме за 2 секунды методом угадывания

[НоунеймЧел-ся]

Если восклицательный знак воспринять как знак интонации, а не факториал, то задача решается намного легче

[UventaTV]

Берём из 99! последовательно пары чисел из начала и из конца 1*99, 2*98 и т.д. Записываем в виде (50-n)*(50+n), что есть разность квадратов 50^2-n^2, что заведомо меньше 50^2.

[Bekka]

Понятие не имею зачем я смотрю это в час ночи
Но интересно

[CandyMeow]

Блин, я думала сравнивают 50 в 99 степени и 99, а ! поставили как восклицание XD

[sonderling]

Итак, ежедневная рубрика :"Почему это в моих рекомендациях?"

[ЛевХиценко]

Здравствуйте, очень красиво получается с неравенством, но я о нем не знал и поэтому предлагаю свой способ. 50^99=50*(50^2)^49. Т.к.(50-k)*(50+k)=50^2-k^2<50^2, то получаем 50^99>99!

[IncredibleSparrow]

Если накричать на цифру, оно не увеличится, глупые математики

[vicvic]

Решается в уме: оба числа представляют произведение 99 чисел. Расставим один под другим в ряд эти числа:
99!=
50^99=
В середине обоих рядов число 50, а на краях разные. начнем умножать в обоих рядах попарно числа: первое на последнее, второе на предпоследнее, 3-е на 97е и т.д.
В первом ряду это будет 1*99=99, 2*98=196, 3*96=288 и т.д., а максимум будет у середины: 49*48
Во втором ряду все пары будут 50*50=2500, что, очевидно, больше любой пары из первого ряда

[rejeporazmetow]

Спасибо Вам учитель. Мне очень понравилось это решение. Я в первые увидел такое решение.

[Richieharrison]

Добро пожаловать в ещё один эпизод " почему это в моих рекомендациях ? "

[СергейПанов-зц]

"На глазок" не смог прикинуть, что больше. Дальше не стал решать.

[АндрейОстроухов-дю]

Спасибо, очень занимательно. Да и мозг тренирует.

[ДендроидВиверновичДраконов]

красиво, но можно и иначе:

1*99 < 50*50
2*98 < 50*50
...
49*51 < 50*50

неравенства одного знака для положительных чисел можно почленно умножать, поэтому 1*2*...49*51*...98*99 < 50^98, далее обе части умножаем на 50, вуаля!

[alexandermorozov]

(99!)^(1/99) = 37, 62 < 50

Современные калькуляторы творят чудеса! :-р

[Dmitriy-Akimov]

Как это ни странно, я рассуждал совсем по-другому: прежде чем сравнивать 50^99 и 99!, и замечая при этом, что 50^99 есть произведение из 99 сомножителей, каждый из которых равен 50, а число 99! есть произведение 99 возрастающих целых сомножителей от единицы до девяносто девяти, а это значит, что справа среди сомножителей есть тоже число 50: 50^99 v 1*2*3*4*...*48*49*50*51*52*...*98*99, так вот, прежде чем сравнивать эти длинные произведения, сравним кое-какие сомножители. Сомножитель 50 справа и слева совпадает, рядом с ним в левой части стоят такие же числа 50 (до него и после), а вот в правой части стоят по бокам от 50 числа 49 и 51. А что больше, 50*50 или 49*51? На калькуляторе умножаем 50 на 50. Получается 2500. Умножаем теперь 49 на 51, получается 2499. Странно. Видимо это от того, что 49 = 50 - 1, а 51 = 50 + 1, то есть 49*51 = (50 - 1)*(50 + 1), а это разность квадратов (a-b)(a+b) = a^2-b^2, то есть 49*51 = 50^2 - 1^2. То есть получилось, что число в квадрате больше, чем произведение соседних с ним чисел ( речь идет о положительных целых числах): 50^2 > 49*51, аналогично 50^2 > 48*52, так как 48*52 = (50-2)*(50+2) = 50^2-2^2, аналогично и остальные попарно взятые сомножители из состава 99! дадут произведение меньше, чем 50^2.
Иначе говоря в левой и правой частях мы сгруппировали в логические скобки по два сомножителя, а сомножитель 50 и там и там оставили без пары, за скобками: в левой части и 50*(49*51)*(48*52)*(47*53)* ... в правой. При одинаковом количестве сомножителей в обеих частях, сомножители в правой части меньше соответствующих из левой части (не считая того, что 50, которое за скобками, есть там и там, но это ни на что не влияет и на 50 можно было и сократить, не меняя знак неравенства).
Значит, 50^99 > 99!

[ЛюсикЗусик]

Если честно, то ответ понятен сразу, так как в 99! умножаются последовательно 99 чисел, начиная с 1, а в (50)^99 умножается 50 99 раз само на себя.Вот и получается, что 99! "проигрывает" (50)^99 50 раз(1×2×...×49<50×50×...×50).

[tiimuur]

другое решение: в обоих случаях произведение 99 множителей, но в 99! 9 из них однозначные. Получается, что 50^99 имеет больше знаков, следовательно 50^99>99!

[leonidsamoylov]

Так мы и не узнали, на сколько же меньше. ) спасибо автору!

[alexsurikov]

Интересно а при каком значении n n! Будет больше чем 50 в степени n. Как решить такую задачу?