Что больше ➜ 88⁹⁹ или 99⁸⁸

Сравните числа ➜ 88^99 и 99^88.
@arinablog наш семейный канал

[ilyasakhundzada]

Чтобы каждый раз не мучится, рассмотрим общий случай- сравним a^b и b^a для положительных а и b. Возведём обе части в степень 1/аb, получим а^(1/а) и b^(1/b). Рассмотрим функцию y=x^(1/x), она достигает максимума в точке х=е. Для всех значений больше "е" функция убывает. Это значит, что для всех а, b>e, при а<b, a^(1/a)>b^(1/b) и, соответственно а^b>b^a.

[GiperManYT]

Выбрал по способу "степень пизже основания"

[Alexander--]

Два способа:
1) Для неравенств вида a^b V b^a известно, что если оба числа находятся справа от e (наш случай), то больше то из них, основание которого меньше, а показатель больше. Т.е. 88⁹⁹ > 99⁸⁸. Это быстрый способ.
2) Так же как в видео приходим к неравенству 2³⁰ V 3¹⁶. Разделим обе части на 2¹⁶, тогда получим 2¹⁴ V 1, 5¹⁶. Заметим, что 1, 5² = 2, 25 - это меньше, чем 2√2, которое больше 2*1, 4 = 2, 8. Значит, 1, 5² < 2^(3/2), откуда 1, 5¹⁶ < 2¹². Приходим к сравнению 2¹⁴ V 2¹². Слева больше.

[z_a_r_e_v_i_c_a]

88 и 99 числа с небольшой разницей оного порядка, а степени 88 и 99 - огромная разница, поэтому явно левое число больше. Однако, доказательство прекрасно и наглядно. спасибо)

[bismir]

Вообще есть лемма что если числа удовлетворяют
e<a<b (e-число Эйлера) то всегда верно что
b^a<a^b

[Ваня-зры]

Долгое решение. можно было сразу поделить на 88^88. Слева получается 88^11, а справа (99/88)^88, сокращаем внутри скобок 11, получается (9/8)^88 или же ((9/8)^8)^11, как говорит Валерий "заметим", что (9/8)^8 не что иное, как (1+1/8)^8 или же просто формула числа е, точнее число, которое меньше е, получается можно сравнить е^11 и 88^11, отсюда вывод слева число больше.

[noweol]

Когда ответ с первого взгляда очевиден, но попробуй докажи! )

[מקסימום]

Что-то очень быстро в этот раз. Я поражаюсь, как можно устный пример растянуть на первую серию «Война и мир»?

[АндрейКиселёв-нг]

Я так и думал! Но этот тип задач никогда не исчерпает себя.

[ИринаАрутюнова-гя]

Как зарядка утром, позитив на весь день!

[ПётрШведов-чп]

Спасибо, интересно и полезно. P.S. Навскидку - сразу было понятно, почему-то...

[marklevin]

Если е<а<в то всегда а^в>в^а. Это несложно доказать.
Пусть f(x)=ln Для х>е производная этой функции отрицательная Поэтому f(a)>f(b)
Умнжим это на ав в lna>a
lnb .
ln (a^b)> ln( b^a)
a^b>b^a...
В частности 88^99>99^88

[gatisgraubins]

I used 2^8=256>243=3^5. 2^27=2^8^3*2^3; 3^16=3^5^3*3. 2^24>3^15 & 2^3*11>3, which proves that first number is larger than second.

[dan-unneeded]

в таких задачах работает один метод
для a, b > e или a, b < e больше то выражение, основание которого ближе к e

[Andrey-M-vtwpfgk]

Начиная с середины пошла подгонка решения под известный ответ

[Максим]

Пора бы уже добавить правило n^k>k^n, при k>n

[nikolaikuchma]

Почему всё-таки левая часть изначально уменьшается, а не увеличивается? Есть ощущение с самого начала, что левая часть больше?

[romank.]

А вот, кстати, серьезная задачка. Как Эйлер догадался, что второе разложение на сумму квадратов числа есть 972^2+235^2? И как разложил на простые множители?

[vitalyu]

Красиво! Как шекспировский сонет, но в математике.👏

[AndVP]

Эдакий "детский" (в смысле без всяких логарифмов, производных и т. д.) подход, который в данном случае сработал!))