Basis und Dimension - Vektorrechnung Gymnasium StrandMathe - Übung 1

Eine Basis B ist eine Teilmenge eines Vektorraums V (also nur eine gewisse Anzahl an Vektoren), für die gilt, dass jeder beliebige andere Vektor des Vektorraums als Linearkombination der Vektoren der Basis zusammengesetzt werden kann. Zu jedem Vektorraum existiert mindestens eine Basis.
So zum Beispiel bilden die Vektoren eine Basis für alle dreidimensionalen Vektorräume. Daher bezeichnet man sie auch als „kanonische Basis“ des R3, da sie jeden beliebigen Vektor des R3 als Linearkombination darstellen können. Eine weitere wichtige Eigenschaft für eine Basis ist lineare Unabhängigkeit der Vektoren. Gleichzeitig darf eine Basis nur aus der Anzahl an Vektoren bestehen, die minimal benötigt werden und somit „minimales Erzeugendensystem“ genannt werden können. Man bezeichnet genau diese Anzahl an Basis-Vektoren als Dimension des Vektorraums.