Лекция 7 | Математический анализ | Юрий Белов | Лекториум

Лекция 7 | Автор: Юрий Белов | Курс: Математический анализ | Организаторы: Математическая лаборатория имени П.Л. Чебышева

Следите за новостями:

[VNPetroFF]

1:26:40 Если вспомнить эквивалентное определение секвенциальной компактности, то в прямую сторону просто доказывается. В компактном множестве из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 1) Если множество K неограниченное, то существует бесконечная последовательность точек, где расстояние между двумя соседними членами больше какого-нибудь δ>0, и из неё не выделить сходящихся подпоследовательностей, так как ни одна из них не будет сходящейся в себе. 2) Тоже самое касается последовательности точек K, стремящейся к конечной предельной точке, принадлежащей дополнению K, любая её подпоследовательность будет сходящейся последовательностью Коши, но предела внутри K иметь не будет. В обратную сторону, рассмотрим любую систему открытого покрытия {V_α}, K⊂∪V_α, добавим к ней открытое множество V'=[a, b]\K, где [a, b] такой отрезок, который содержит K, K⊂[a, b], тогда система {V_α}∪{V'} есть открытое покрытие отрезка [a, b] из которого можно выделить конечное подпокрытие {V_α_n}, очевидно оно, при отсутствующем V', покрывает и компакт K, тем самым всё доказано.

[VNPetroFF]

3:20 Функция g(x)=√x при x≥0 в ℝ+={y≥0} непрерывна как обратная к биективной и непрерывной x=y^2 при y≥0. Теорема. Пусть функция, заданная на открытом множестве V, f(x): V↦ℝ взаимно однозначная на свой образ в некоторой замкнутой δ окрестности [x0−δ, x0+δ]=Vδ⊂V и непрерывная в точке y0=f(x0), тогда обратная функция f^−1(y) непрерывна в точке y0. Доказательство. Предположим нашлась такая последовательность {y_n}, y_n→y0, что некоторая подпоследовательность {x_n_k}, x_n_k=f^−1(y_n_k), lim x_n_k ≠ x0, при k→∞. Последнее означает ∃δ'>0, что δ≥|x_n_k−x0|≥δ'. У последовательности {x_n_k} существует сходящаяся подпоследовательность {x_n_k_m}, x_n_k_m→x1, m→∞. Из |x1−x0|≥δ'>0 следует f(x1)≠f(x0), так как функция f инъективна, по непрерывности lim y_n_k_m=lim f(x_n_k_m)=f(x1)≠y0=f(x0). Противоречие с сходимостью {y_n} к y0.
Эта теорема про одну точку, но можно получить непрерывность сразу для всех.
Теорема. Пусть функция, заданная на компакте K, f(x): K↦ℝ взаимно однозначная на свой образ и непрерывна на K, тогда обратная функция f^−1(y) тоже задана на компакте и непрерывна.
Доказательство. Если мы докажем, что множество f(V)=W, образ V, открыто для любого открытого V, то мы получим непрерывность по одному из критериев непрерывности, потому что для биекции множество W есть прообраз V при отображении f^−1(y). Докажем утверждение.
Утверждение. Непрерывный образ компактного множества компактен.
Доказательство. Рассмотрим любую систему открытого покрытия {W_α}, f(K)⊂∪W_α, тогда система {Vα}, Vα=f^−1(W_α) есть открытое покрытие K⊂∪Vα. Мы можем выделить конечное подпокрытие {Vα_k}, тогда соответствующее подпокрытие {W_α_k} будет покрытием множества f(K) и значит оно компактное.
Для любого открытого V рассмотрим множество V'=K\V, оно содержится в компакте и замкнуто, значит компактно, тогда компактно множество f(V'), а W=f(K)\f(V')=f(V) − открыто.
Утверждение. (Критерий непрерывности) Функция f(x): X↦Y заданная на множестве X⊂ℝ, Y⊂ℝ, непрерывна на нём тогда и только тогда, когда прообраз f^−1(V) любого открытого множества V⊂Y − открыт в X.
Доказательство. Рассмотрим произвольный x0∈f^−1(V), так как V открыто и f непрерывна, то ∃ε, δ>0, f(x0)=y0, Vδ=(x0−δ, x0+δ)⋂X, f(Vδ)⊂Wε=(y0−ε, y0+ε)⋂Y, следовательно x0∈Vδ⊂f^−1(Wε)⊂f^−1(V), то есть каждая точка входит в прообраз с некоторой δ−окрестностью и значит он открытое множество. Обратно, пусть прообраз открытого множества открыт, тогда f^−1(Wε) − открытое множество для ∀ε>0, точка x0∈f^−1(Wε) внутренняя и значит ∃δ>0, что Vδ⊂f^−1(Wε), функция непрерывна в x0.