Προσομοίωση 2020 - Νέα ύλη (Ν. Σιώμος)

Τα δικά μου θέματα, για αυτή την ιδιαίτερη φετινή χρονιά...
Περιορισμένη ύλη, αλλά όχι απαραίτητα περιορισμένη δυσκολία.
Πολλοί περιμένουν εύκολα φέτος, αλλά η δυσκολία δεν έχει άμεση σχέση με την ύλη...

Τις εκφωνήσεις θα τις βρείτε εδώ:

Οι λύσεις εδώ:

Το τραγούδι είναι μία διασκευή (cover, όχι ακριβώς διασκευή) που βρήκα στο YouTube από ένα τραγούδι του χρήστη ChromeCelica00 και του γκρουπ του Deadtide. Ελπίζω να μη μου σβήσει το Youtube, γιατί είναι πάρα πολύ ωραίο!

[siobaras]

Θέμα Α: 3:04


Θέμα Β:
6:35 (Β1)
10:21 (Β2)
14:31 (Β3)
18:32 (Β4)
23:04 (Β5)


Θέμα Γ:
26:16 (Γ1)
27:47 (Γ2)
31:12 (Γ3)
33:45 (Γ4)
36:25 (Σχήμα)


Θέμα Δ:
40:05 (Δ1)
41:17 (Δ2)
49:38 (Δ3)
50:43 (Δ4)

[GIORGOS-yykv]

Εξαιρετικό Διαγώνισμα!! Μου άρεσε πολύ και το έλυσα!!

[kostasvasilopoulos]

Πολύ ωραία θεματα και αλά Σιώμου φυσικά. Θέλω να ξέρετε ότι πρώτη φορά βλέπω μαθηματική συνέπεια στο YouTube και χαίρομαι πολύ γι αυτό. Συνεχίστε την αξιόλογη προσπάθεια και άντε να δω τι θα γίνει του χρόνου που γράφω και εγώ με την σειρά μου....🙂

[vasiliskalogiros]

Πολύ καλό διαγωνισμα σας ευχαριστουμε για τον κόπο σας κ όντως είχε καποια κομμάτια που δεν ήταν στα αναμενόμενα

[vasilischatzipanagiotou]

Συνάδελφε μια πρόταση για το Β4 που ίσως διευκολύνει την εύρεση της αντίστροφης. Το 1-1 βγαίνει κατευθείαν για το ανοιχτό λόγω μονοτονίας και συνέχειας και το μηδέν κολλάει επιπλέον. Να βρούμε τα επιμέρους σύνολα τιμών για x=0, 0<x<=1, x>1 και για κάθε περίπτωση να λύσουμε την y=φ(x) γνωρίζοντας εκ των προτέρων τον αντίστοιχο τύπο για κάθε y του κάθε συνόλου τιμών {0}, [1, +άπειρο), (0, 1). Απλά είπα να κάνω την εξυπνάδα μου. Τα συγχαρητήριά μου για την εξαιρετική σου δουλειά είναι περιττά

[spurosstathis]

Στο 12:00 αναφέρατε πως το de hospital επιτρέπεται. Αυτό σημαίνει πως θα μπορώ να το χρησιμοποιώ απλα ως εργαλείο χωρίς να χάσω μοναδες;

[untitledunt]

Κυριε Σιωμο συγχαρητήρια για το διαγωνισμα!! Ως προς το Δ4 αφου f'' ειναι συνεχης ειπα αντιστοιχα οτι ειναι γν αυξουσα ή γν φθίνουσα και κατέληξα σε ατοπο.Αν δεν αναφερθει η αποδειξη τι επιπτωση θα εχει στη βαθμολογηση??
Επισης ως προς το Γ3 αν παραστησω το γραφημα με τις τιμες της d και βρω τα κοινα σημεια της με την y=λ απευθείας, υπαρχει προβλημα ως την πληρη τεκμηριωση? Σας ευχαριστουμε !!

[mariusalexe]

Καλησπερα κυριε Σιομο, στο θεμα Β και εν προκειμενου το Β5, οι δυο συνθεσεις δεν εχουν ιδιο τυπο.Η g•f^-1 εχει τυπο x^-1/2 και 2/χ+1 ενω η f^-1•g^-1 εχει τυπο x^-1/2 και χ+1/2χ.

[siobaras]

Στο Δ1, θα ήθελε κανονικά να το πω λίγο πιο αναλυτικά, π.χ. κάτι τέτοιο: "Αφού είναι γνησίως φθίνουσα, πριν το x1 είναι παραπάνω και μετά το x1 είναι παρακάτω, άρα δεν έχει εκεί κάποιο ακρότατο". Την πρώτη φορά που έγραψα σε βίντεο το θέμα Δ έτσι το είχα πει, αλλά είχε κολλήσει το αριστερά παράθυρο word με τις λύσεις και δεν το είχα πάρει χαμπάρι... Τη δεύτερη φορά βγήκε 2 λεπτά λιγότερο, άρα κάποια τα είπα πολύ πιο γρήγορα!

[PerseusNemesis]

Καλησπέρα, μια γρήγορη ερώτηση: χρειάζεται να δείχνουμε όλα τα όρια που υπολογίζουμε (πχ στο σύνολο τιμών...) Ή μπορούμε απλά στο πρόχειρο;;

[MrTopG-ebym]

Για το Δ4 :
•Δείχνουμε ότι f'(x)>=0 στο (α, β)
•Επομένως τα f'(x1)=f'(x2)=0 είναι ελάχιστα της f', οπότε από θεώρημα Fermat: f''(x1)=f"(x2)=0 και x1#x2 αφού x1<x2
Αρα η f" δεν είναι 1-1.

[ΚώσταςΤσίρκας-πσ]

Μία απόδειξη για το Δ4 χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την συνέχεια της f'' θα ηταν να πάρουμε ξ1 στο (χ1, χ2) ώστε f'(ξ1)<0 ( πρέπει να υπάρχει αφού f γνησίως φθίνουσα) και κ1 στο (α, χ1) τέτοιο ώστε f'(k1)>f'(ξ1) (η ύπαρξη τέτοιου αριθμού θέλει λιγη εξήγηση αλλά βγαίνει ) και στην συνέχεια να εκμεταλλευτούμε την πρόταση πως όταν f γνησίως φθίνουσα f'<=0 στο ανοικτό (με απόδειξη ) και να διακρίναμε περιπτώσεις . 1) Αν f'(k1)=0 ρολ στα κ1, χ1 και χ1, χ2 και θα ειχαμε το ζητούμενο.2) αν f'(k1)<0 τότε θετ στα χ1, ξ1 και ξ1, χ2 που θα μας εδιναν κ2, κ3 με f'(k2)=f'(k3)=f'(k1) απο όπου πάλι επεται το ζητούμενο με ρολ. Συγγνωμη που δεν γράφω τις λεπτομέρειες της λύσης αλλά πως σας φαίνεται η ιδέα? Πάντως εξαιρετικό διαγώνισμα σας ευχαριστούμε πολύ.

[Κωνσταντίνος-ξμ]

Χωρίς να έχω δει λύσεις...
Στο Δ4 από ΘΜΤ για την f ' στο [χ1, χ2] προκύπτει ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον ξ1 στο (χ1, χ2) τέτοιο ώστε
f"(ξ1) = (f'(x2) - f'(x1)) /(x2-x1) =0
f"(ξ) =f"(ξ1)=0 άρα η f" δεν είναι 1-1

[Stelizz]

Οπως ενημερωθηκα η συνθεση δικλαδων δεν ειναι εντος υλης.