Zero factorial or 0! | Probability and combinatorics | Probability and Statistics | Khan Academy

Missed the previous lesson?

Probability and statistics on Khan Academy: We dare you to go through a day in which you never consider or use probability. Did you check the weather forecast? Busted! Did you decide to go through the drive through lane vs walk in? Busted again! We are constantly creating hypotheses, making predictions, testing, and analyzing. Our lives are full of probabilities! Statistics is related to probability because much of the data we use when determining probable outcomes comes from our understanding of statistics. In these tutorials, we will cover a range of topics, some which include: independent events, dependent probability, combinatorics, hypothesis testing, descriptive statistics, random variables, probability distributions, regression, and inferential statistics. So buckle up and hop on for a wild ride. We bet you're going to be challenged AND love it!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to KhanAcademy’s Probability and Statistics channel:

[danthemango]

It's not just defined, it's deducible. The question of a factorial is "how many ways can I arrange n things?". So how many ways can I arrange 3 things?", 3! ways, or 6 ways.

How many ways can I arrange 1 item? There's only one item, so only one way.

 How many ways can I arrange 0 items? There are no items, but it's already arranged. There's at least one way and only one way to arrange no items.

[willpugh-calotte]

You can work backwards to a logical conclusion that 0! must equal 1 using
(n + 1)! = n!(n + 1) transformed into (n + 1)!/(n + 1) = n!

5!/5 = 4!
4!/4 = 3!
3!/3 = 2!
2!/2 = 1!
1!/1 = 0!

... and the stepping backwards stops there because one more step would lead into a division by zero.

[jesusvillezcas]

Can you do a fourier series playlist?

[BohonChina]

please do another video about factorial of fraction.

[NoActuallyGo-KCUF-Yourself]

There should be a linked to follow up on the gamma function.

[ThomasMayhew]

Very well explained. Thanks! Now I understand better.

[BohonChina]

actually it is meaningful and deducible.
N! = N * (N-1) !

3! = 3 * 2! = 3 * 2 * 1
2! = 2 * 1! 
1! = 1 * 0!
SO  0! = 1

what is weird is fractional factorial. and it is much more difficult to understand, khan academy should expand something about it. 
which is called gamma function
thinking about 2.5! = 3.32335097045
 3.5！= 11.6317283966

[NidusFormicarum]

Abso, if 0!=0 then sholdn't n!=0 as well. Afterall, we don't multiply with 0 for higher values on n.

[-.._.-_...-_.._-..__..._.-.-.-]

Goes to show you that our language of mathematics isn't perfect mathematics.

[peter_roth_]

Let's think about it.
There are two places and two person to occupy the places.
There are 2 possible way to do it.
n=2 (places), k=2 (person)
n!/(n!-k!) lbecomes 2!/0! and this must be 2! So we can say 0! is 1.

And now: the same story with two places and one person.
n=2 (places), k=1 (person)
n!/(n-k)! becomes 2!/1! and as you can see we have also 2 possible way to occupy the places. One perosn is free to choose any of the two places.
That's the whole logic behind the story.

[mqhu]

well, analytically we have gamma(n)=(n-1)!, and we have gamma(1)=0!=1. This solves every thing...

[guilhermegondin]

Only place I've ever used factorial outside combinatorics was in complex analysis with the gamma function, I trully believe most studens watching this video will never come to see it, and being sincere, I couldn't find much use for it myself, and my major area of work is complex geometry, with follows from complex analysis, so better keep factorial here I think

[dagoninfinite]

Lets say there is a and b. Now we have just one spot in which to put either. How many combinations we get? According to your logic there are 1! combs which incidentally equals one. But there are in fact two combination, its either a or b. Whats up w. that?

[dhruvsawhney]

Its actually deducible,
(n-1)!/n! =1/n
when n=1,
(1-1)!/1! = 1/1
0!/1 = 1
Hence, 0! = 1.

[릴베룡계정]

애초에 n!인데 n=nature number 라서 0이 들어갈수없지않나요

[andreyvasyaev]

Что мы знаем о факториалах...
Для начала мы знаем что
факториал следующего числа равен факториалу предыдущего числа умноженному на это самое следующее число...
N!= (N-1)!×N
или по другому... факториал предыдущего числа равен факториалу следующего числа деленному на это самое следующее число...
N!=(N+1)!/(N+1)
есть еще вид (N+1)!= N!×(N+1)...
значит (N-1)!=N!/N и N=N!/(N-1)!
При N=1 получаем 0!=1!/1 и 1=1!/0!
При N=0 получаем (-1)!=0!/0 и 0=0!/(-1)!
При N=(-1) получаем (-2)!=(-1)!/(-1) и (-1)=(-1)!/(-2)!
При N=(-2) получаем (-3)!=(-2)!/(-2) и (-2)=(-2)!/(-3)!
При N=(-3) получаем (-4)!=(-3)!/(-3) и (-3)=(-3)!/(-4)!
При N=(-4) получаем (-5)!=(-4)!/(-4) и (-4)=(-4)!/(-5)!
Видим что вычисление положительных факториалов по действию очень похоже на действие возведения в степень...
только множители различные...
Исходя из полученных формул отрицательный факториал берется не только от отрицательного значения но и имеет смысл обратных значений для положительных факториалов N...
Во всяком случае вполне возможно
N!=(N+1)!/(N+1)
0!=1!/1=1
(-1)!=0!/(0)=1/(0)= 1 неделённая единица
(-2)!=(-1)!/(-1)= 1/(-1)= -1
(-3)!=(-2)!/(-2)=(-1)/(-2)= 1/2
(-4)!=(-3)!/(-3)=(1/2)/(-3)= -1/6
(-5)!=(-4)!/(-4)=(-1/6)/(-4)= 1/24
(-6)!=(-5)!/(-5)=(1/24)/(-5)= -1/120...

Интересно что получаются обратные значения Гамма функциям от положительных значений когда
Г(N+1)=N!
Г(N+1)=N×Г(N)=N×(N-1)!
Немного неожиданно...
Получается что для отрицательных Г(-(N+1))=1/Г(N+1)=1/N!
Но есть "проблема" со знаком...

Видим что постоянно через один изменяется знак при делении "факториалов" от отрицательных значений...
Предположу что нужно брать для отрицательных значений N значение по модулю (а для обобщения и для положительных значений N...)
N!=(N+1)!/|N+1| (N-1)!=N!/|N|
0!=1/1=1
(-1)!=0!/0=1/0= 0 (относительный ноль)
или безотносительно единица неделённая что более верно...
Тогда следует (-2)!= (-1)!/|-1|=1
(-3)!=(-2)!/|-2|=1/2
(-4)!=(-3)!/|-3|=1/6
(-5)!=(-4)!/|-4|=1/24...
Как видим получаем обратные величины факториалов для положительных значений N...
но еще идет сдвиг на один ход относительно факториалов для положительных значений N...
Смею предположить что отрицательные факториалы должны считаться по формуле
N!=(N+1)!/|N|...
Тогда
(-1)!=0!/|-1|=1/1=1
(-2)!=(-1)!/|-2|=1/2
(-3)!=(-2)!/|-3|=1/6
(-4)!=(-3)!/|-4|=1/24
(-5)!=(-4)!/|-5|=1/120...
и получается что эти значения численно равны коэффициентам для нахождения "обратного факториала"...
Кстати по этой же формуле получается
0!=1!/0=1/0=1 единица неделённая
что наверное будет более верно...

Если уж быть совсем дерзким и исходить из того что график этих значений должен бы быть хоть немного математически красив то возможно факториалы от отрицательных значений должны бы быть и сами отрицательными...
Но я пока не нахожу физического смысла отрицательным значениям факториалов...
(самим факториалам от отрицательных чисел смысл проявился очень явно)...
к тому же придется признать что тогда при этом 0!=1/0=0 равен относительному нулю...
Но это пока мои личные фантазии...
и в этом надо сначала разобраться...
а перед этим хорошенько подумать...

Мне все же ближе "вариант с модулями"...

[lightsidemaster]

So they just go and define that shit even though it logically makes no sense?
That's like making something out of nothing.
Which goes against energy conversion.

[light]

But it doesn't make sense when there are 0 chairs and 0 people, if 0!=1 why there is 1 way?

[scitwi]

What if there is more chairs than people? :q
Then we would need a factorial of a negative number... :|

[UCS_B_MrityunjayJha]

why not just define the factorial like this,
0!=1 and n!=n*(n-1)!