НЕВЕРОЯТНО КРАСИВАЯ ЗАДАЧА! А решение - просто блеск!

ABCD- вписанный 4-к, касательные в точках B и D пересекаются в точке M, которая лежит на прямой AC. Зная, AD=6, BC=8, CD=12, найдите длину стороны AB.

[lashman]

а посмотрите Popular Science's "Unsolved" Car Puzzle, может можно подобным способом её решить?

[constantinfedorov]

Да, это пример спонтанного нарушения симметрии. Отрезки MA и MC не знает только тот, кто не учился в средней школе. Из подобия треугольников MBA и MCB MA/MB = MB/MC; => известное всем равенство, ставшее определением понятия "степень точки относительно окружности". При этом незаслуженно забыта другая пара отрезков AB и BC. Из того же подобия AB/BC = MA/MB; но MB = MD; => AB/BC = AD/DC;

[pojuellavid]

Наблотыкали пенсионера пиянерские задачки решать, однако.
Углы МВА=МКВ, МВА=МСВ Как угол между секущей и касательной и внутренний, с равными дугами.
Треугольники подобны МАД и АСД, АВМ и ВСМ . Линейный коэффициент нам даёт подобие АД/СД=1:2, откуда МА/МД=1:2.
Поскольку отношение АМ/АС одинаковое для "верхних" и "нижних" от МС треугольников (для порядка -- по теореме о секущей и касательной (МД)^2=АМ*СМ АМ/АС=1:3), то и АВ/ВС=АД/СД=1:2
Ответ:4
Интересно, есть ли проще и короче?

[galinaberlinova]

Решила аналогично, только исходила из коэффициента подобия 2. Значит 8:2=4.

[alexnikola]

блестяще) а ваш покорный слуга не решил... чайник, ээх(

[SB-]

Есть нетривиальное решение этой задачи, без подобия. Обозначим: S(AMB) = S₁, S(ABC) = S₂, S(AMD) = S₃, S(ADC) = S₄, AB = x, MB = MD = L.
S₁/S₂ = L∙x/(8∙AC) = MA/AC ⟹ *MA = L∙x/8 .* S₃/S₄ = 6∙L/(12∙AC) = MA/AC ⟹ *MA = L/2.* (площади треугольников с общим углом относятся как
произведения сторон, заключающих равные углы. ). Отсюда получим: L∙x/8 = L/2 ⟹ х = 4 . А это уже неплохая альтернатива решению Учителя.

[SB-]

Очень красивое и простое решение . Достойной альтернативы ему не видно.