Mathe RÄTSEL Geometrie – Wie lang ist die Strecke?

Mathe Rätsel
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Geometrie Aufgabe lösen kann. Wir nutzen die Trigonometrie, um den Sinus im rechtwinkligen Dreieck und den Kosinussatz anwenden zu können. Mathematik einfach erklärt.

0:00 Einleitung – Mathe Rätsel
0:59 Lösung
3:44 Sinus im rechtwinkligen Dreieck
5:23 Kosinussatz
8:14 Bis zum nächsten Video :)

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[robertoblanco]

Hey zusammen :)
Mein Weg war es für die beiden Dreiecke über- und unterhalb der roten Linie jeweils den Satz des Pythagoras aufzustellen. So ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Variablen: oben: 2^2 = (2-y)^2 + (x/2)^2 und unten: 1^2 = y^2 + (x/2)^2. Mit y=(1/4) komme ich ebenso auf x=1, 94.
Viele Grüße!

[c.montgomeryburns]

Ich habe das so gelöst, dass ich die Gleichungen der Kreise (1. Kreis mit Radius 2: y^2 = 4 - x^2, 2. Kreis mit Radius 1: y^2 = 1 - (x - 2)^2) zur Schnittpunktermittlung gleichgesetzt habe. Dami ergeben sich fie Schnittpunkte S1 (7/4, Sqrt(15)/4) und S2 (7/4, -Sqrt(15)/4). Der Abstand von S1 und S2 ist dann Sqrt(15)/2. Gerundet ist das dann 1, 94.

[NandoPreß]

Deine Videos sind total klasse. Du erklärst alles super. Mach weiter so.

[satyrisque]

Genauer Wert wäre Wurzel(15) / 2.
Geht mit Pythagoras, da man ja rechtwinklige Dreiecke hat (die beiden Radien jeweils als Hypotenusen). Das finde ich ehrlich gesagt einfacher, und es funktioniert ohne Taschenrechner.

[Nikioko]

Sehnensatz:
(x / 2)² = y ⋅ (2R - y) = (r + y) ⋅ (r - y)
(x / 2)² = 2Ry - y² = r² - y²

4y cm - y² = 1 cm² - y²
4y = 1 cm
y = 1/4 cm

(x / 2)² = 1 cm² - 1/16 cm²
(x / 2)² = 15/16 cm²
x / 2 = √15 cm / 4
x = √15/2 cm
x ≈ 1, 936 cm

[Birol]

Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden beiden Kreisen ist gleich r₂
r₂= 2 cm
Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des kleinen Kreises bis zu der Spitze von der roten Linie ist gleich r₁= 1 cm,
Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des großen Kreises bis zu der Spitze von der roten Linie ist gleich r₂= 2 cm.
⇒
Somit haben wir ein Dreieck, die Höhe wäre die Hälfte der gesuchten Länge.
Die Basis hat eine Länge von 2 cm, zwischen dem Punkt wo die Höhe h die Basis schneidet und der linken Ecke soll x sein, zwischen dem Punkt wo die Höhe h die Basis schneidet und der rechten Ecke ist dann (2-x) cm.
⇒
Für die linke Seite von dem Dreieck nach dem Satz von Phytagoras:
1²= x²+h²
Für die rechte Seite von dem Dreieck nach dem Satz von Phytagoras:
h²+(2-x)²= 2²
h²+(2-x)²= 4
⇒
Wenn man von der unteren Gleichung die oberen subtrahiert:
4= h²-(2-x)²
-1= -h²-x²
3= (2-x)²-x²
3= 4-4x+x²-x²
4x= 1
x= 1/4
⇒
h²= 1-x²
h²= 1-1/16
h²= 15/16
h= √15/4

Rote Linie= 2h
= 2*√15/4
Rote Linie= √15/2 cm
Rote Linie= 1, 9365 cm
≅ 1, 94 cm

[haraldkittinger]

Hi! Ich hätte ganz ohne Winkelfunktionen das 2-2-1 Dreieck betrachtet. Da es gleichschenklig ist, lässt sich die Höhe auf die Basis mit Pythagoras berechnen und in weiterer Folge der Flächeninhalt. Wenn man den Flächeninhalt kennt, kann man die Höhe auf die Schenkel (x/2) berechnen.
Schön zu sehen, wie viele Wege zum selben Ergebnis führen. ❤

[udoc.]

Meine 3 Gleichungen lauten x^2+z^2=4 z^2+y^2=1 und x+y=2. Daraus ergibt sich x=7/4 y=1/4 und z=√15/4. Da z die halbe gesuchte Strecke ist, ist die gesuchte rote Strecke damit √15/2. Eine schöne Aufgabe und vom Schwierigkeitsgrad für mich mal wieder genau richtig - eine Weile Knobelei und dann kein Frust, weil lösbar. Danke Susanne und ein gesundes neues Jahr wünsche ich dir und Thomas. (Diese Worte tippe ich gerade mit dem orangen Kugelschreiber aus deinem Shop, der aber auch auf Papier sehr gut schreibt.)

[Frank-cedx]

Der Kosinussatz, das "Allheilmittel" für solche Problemstellungen, das haben Sie sehr gut rübergebracht! Prima
Ihnen ein gesundes und erfolgreiches Neues Jahr!

[Stiefelkater]

Klasse Video zur Überbrückung der langweiligen Momente hier in der Finanzbuchhaltung^^

[theofuhrmann]

Verbesserungsvorschlag: Die Schreibweise cos^(-1) hat sich zwar auf Taschenrechnern eingebürgert, aber mathematisch ist sie falsch -> es müsste es arccos heißen.
Ich plädiere für die korrekte Schreibweise,
a) um Missverständnisse zu vermeiden, denn korrekt ist cos^(-1) = 1/cos
b) denn wenn der TR endgültig vom Smartfon verdrängt ist, müssen Einige wieder umlernen.

Die Aufgabe selbst war schön, danke dafür.

[simplymath]

Meine Lösung:
- Man nehme das Dreieck (2:00 min) mit den Seitenlängen 2 cm, 2 cm und 1 cm.
- Nach Heron lässt sich der Flächeninhalt A ohne Höhe berechnen.
A = Wurzel aus [ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) ]
wobei s = (a+b+c) : 2
- Mit diesem Flächeninhalt A und der Grundlinie (2 cm) erhält man die Höhe des Dreiecks.
- x ist 2mal die Höhe des Dreiecks.

[effiebriest]

Du hast mir richtig Lust auf Mathe gemacht und ich werde immer mutiger es selbst zu versuchen. Hier hab ich die Strecke durch A gespiegelt und die Kreisschnittpunkte zu einem Rechteck verbunden. Dann hab ich den Kathetensatz herangezogen, weil sich die Diagonale des Rechtecks aus r+r ergibt: x^2 = p*q = Wurzel aus x^2 = Wurzel aus (r*r) = 2

[WK-]

Vom Cosinus eines Winkels (zwischen 0° und 90°) zum Sinus oder zurück geht's auch leichter als mit deren Umkehrfunktionen, weil ja sin^2+cos^2=1 ist. (Wer "Sinus" sagt und "Pythagoras", hat das immer vor Augen.)
Wenn also der Cosinus = 7/8 ist, ist sein Quadrat 49/64, d.h. der Sinus hat als Quadrat 15/64 und ist deswegen 1/8*wurzel(15). Das Endergebnis ist somit 1/2*wurzel(15).

[Waldlaeufer]

a = Abstand der roten Strecke zum kleinen Kreismittelpunkt

Gleichung 1:
a² + (x/2)² = r²
a² + x²/4 = 1

Gleichung 2:
(R - a)² + (x/2)² = R²
(2 - a)² + (x/2)² = 4
4 - 4a + a² + x²/4 = 4

Gleichung 2 - Gleichung 1:
4 - 4a = 3
4a = 4 - 3 = 1
a = 1/4

Einsetzen in Gleichung 1:
1/16 + x²/4 = 1
x²/4 = 15/16
x² = 15/4
x = √15/2 ≈ 1, 94 [cm]

[timriep]

Habe es ganz andere gelöst, aber ich habe das gleiche raus. Ich habe den Radius von 2cm an der gesuchten Linie in a und b geteilt. Wegen der Rechtwinkligkeit ergeben sich folgende Gleichungen: a + b = 2; (x/2)^2 + b ^2 = 2^2; (x/2)^2 + a^2 = 1^2. Nach Umstellen kommt man auf x = Wurzel(15)/2, was korrekt ist

[Manukay-vr]

Pythagoras auf oberes und unteres Dreieck gibt a/b*sqrt(4b^2-a^2). Mit a=1 und b=2 ist das 1, 94.

Es gibt übrigens eine Reihe von Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen, wie z.B. sin(arccos(x))=sqrt(1-x^2). Also auch mit dem Ansatz über die Winkel wäre man darauf gekommen, nur komplizierter. Wenn man alles sofort auswertet (Taschenrechner-Junkies…), verbaut man sich aber die Möglichkeit dafür.

[YT_LA]

I) 2^2 = (x/2)^2 + p^2, II) 1^2 = (x/2)^2 + q^2, III) p+q=2 <=> p = 2 - q
I) - II) 3 = p^2 - q^2 = (2-q)^2 - q^2 = 4 - 4q <=> q = 1/4 <=> p = 7/4
x/2 = sqrt( 1 - q^2 ) = sqrt( 1 - 1/16 ) = sqrt( 15/16 ) = sqrt( 15 ) / 4 <=> x = sqrt( 15) / 2

Die Lösung ist also x = sqrt (15 ) / 2

[porrulho]

Hallo! Deine Videos sind mega, könntest du auch was zu Binomialkoeffizienten machen? Bezüglich vereinfachen, ausrechnen, das wäre sehr toll.
Mach weiter so!