Programa de Doutorado: Hodge Theory - Class 15 - Algebraic Coherent Sheaves

Professor: Roberto Villaflor

Definition of complex algebraic varieties and morphisms, definition of algebraic quasi-coherent and coherent sheaves, Serre's theorem on the cohomology of affine varieties (quasi-coherent sheaves are acyclic). Projective varieties, twisted sheaves, Serre's theorem about coherent algebraic sheaves over projective varieties (are quotients of finite direct sums of twisted sheaves). Cohomology of the projective space with coefficients in the twisted sheaves, Serre's theorem on the cohomology of projective varieties with coefficients in a coherent sheaf (finiteness and vanishing after a high enough twisting).

Pré-requisito: Análise complexa
Integrais elípticas. Integrais abelianas e múltiplas. Noções básicas de homologia singular. Isomorfismo de Leray-Thom-Gysin. Teorema de Lefschetz em seções hiperplanas. Decomposição de Lefschetz. Teorema difícil de Lefschetz (enunciado). Teorema de fibração de Ehresmann. Monodromia e ciclos evanecentes. Conjectura de Hodge e teorema (1,1) de Lefschetz. Cohomologia de Rham de hipersuperfícies suaves (teorema de Griffiths). Ciclos de Hodge de variedades de Fermat. Número de Picard de superfícies de Fermat. Hypercohomologia. Formas diferenciais e campos vetoriais. Cohomologia de Rham algébrica. Teorema de Atiyah-Hodge. Filtração de Hodge. Conexão de Gauss-Manin algébrica e analítica. Teorema de transversalidade de Griffiths. Variação infinitesimal de estruturas de Hodge (IVHS). Mapa de Kodaira-Spencer. Teorema de Noether-Lefschetz. Loci de Noether-Lefschetz e Hodge. Espaços tangentes de loci de Hodge.

Referências:
LEWIS, JAMES D,. – A survey of the Hodge conjecture. Appendix B by B. Brent Gordon. CRM Monograph Series, 10. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
CLAIRE VOISIN. – Hodge theory and complex algebraic geometry. Volume 76 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
CLAIRE VOISIN. – Hodge theory and complex algebraic geometry. {II}, Volume 77 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

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