Ομοιόμορφη συνέχεια και ακολουθίες Cauchy

Θεωρούμε γνωστό ότι αν f ορισμένη και συνεχής συνάρτηση σε ένα φραγμένο διάστημα (a,b), και ότι κάθε όριο της f στα άκρα του (a,b) υπάρχει και είναι αριθμός, τότε η f είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Σε αυτή τη βιντεοδιάλεξη παρουσιάζουμε την σχέση της ομοιόμορφης συνέχειας συναρτήσεων με τις ακολουθίες Cauchy. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι μια απαραίτητη ιδιότητα που πρέπει να έχει πάντα μία ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση είναι να απεικονίζει ακολουθίες Cauchy σε ακολουθίες Cauchy (και συνεπώς, αν δεν την έχει, δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφα συνεχής). Το αντίστροφο δεν ισχύει όπως δείχνουμε με ένα αντιπαράδειγμα! Ωστόσο, αν περιορίσουμε μια συνάρτηση f σε κάποιο φραγμένο διάστημα η απάντηση για το αν ισχύει το αντίστροφο είναι καταφατική (το οποίο επίσης αποδεικνύουμε)!!