1 + 3 + 5 + 7 + 9 Résultat FOU 🤯

Une technique hallucinante pour calculer la somme des premiers nombres impairs consécutifs.

[Kirei.na-hana]

Pour ceux qui sont curieux, on démontre cette propriété par récurrence. (On montre que ça marche pour un cas simple, par exemple n = 0, puis on montre qu'au cas suivant n+1, c'est toujours vrai).
Donc pour traduire l'énoncé de la propriété.
La somme des n impairs vaut n^2.
Donc pour tout n,
Somme de k = 0 à n - 1 (il y a n termes de 0 à n-1) des 2k+1 = n^2
On fait l'initialisation c'est à dire qu'on dit que c'est vrai à un cas simple, n=1
On obtient alors 1 = 1^2
Donc la proposition est vrai pour le premier rang n = 1.
Maintenant on suppose que la propriété marche pour un rang n quelconque, et on veut montrer qu'elle marche pour le rang suivant (quand vous serez plus grand, vous comprendrez que l'on cherche une implication de P(n) à P(n+1)).
Donc somme des k=0 à n-1 de 2k+1 = n^2
=> 2n + 1 + Somme des k=0 à n-1 de 2k+1 = n^2 +2n + 1 (on ajoute 2n+1 des deux côtés)
=> Somme des k=0 à n de 2k+1 = (n+1)^2 (on remarque que 2n+1 est le n+1-ième k de la somme des impairs. De plus on remarque l'identité remarquable (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1)
Bingo, on montre que si notre proposition était vrai au rang n elle l'est toujours au rang suivant n+1. On dit alors que la proposition est héréditaire.
Comme la proposition est vraie pour le rang 1, elle est vraie pour le rang suivant, puis pour le rang suivant suivant, puis pour le rang suivant suivant suivant, etc.
Pour les plus curieux, je vous invite à calculer la somme 1+2+3+...+n, puis d'en déduire ce que vaut la somme des impairs c'est-à-dire 2x0+1 + 2x1+1 + 2x2+1 +...+ 2xn+1

[mateoasakusabashi]

C'est des profs comme toi qu'on aurait du avoir dans les années 90's

[philbennet]

J'aime bien ta passion. Tes élèves ont de la chance de t'avoir.

[Maohi]

J'avais oublié ce résultat, mais ta vidéo m'a rappelé le "pourquoi ça marche" avec une démonstration géométrique :
• 1 : Peut être représenté par un carré de 1 sur 1, donc 1 x 1 = 1
• 1 + 3 : On rajoute à la figure précédente 3 carrés, (un en haut, un à droite, un en haut à droite) de façon à former un petit carré de 2 sur 2, et donc 2 x 2 = 4.
• 1 + 3 + 5 : On rajoute à la figure précédente 5 carrés (deux en haut, deux à droite et un en haut à droite), de façon à former un carré de 3 sur 3, et donc 3 x 3 = 9
Etc....

(Je sais pas si c'était clair.. ^^ )

[boubacarndiaye]

Impressionnant, vraiment, mais, simple! C'est très efficace en calcul rapide. Bravo!

[denisfou]

graphiquement ça se démontre avec un carré de 1x1 au début. Pour avoir le carré suivant (de 2x2) il faut ajouter 3 cases. pour le suivant 5 cases puis 7 etc.

[aby]

J adore cette énergie que vous transmettez

[dark_x_aminiors]

J'ai remarqué un autre truc. Son exemple marche que si on commence avec le 1 au départ. Mais si on veut trouver un truc du genre sans forcément commencer par 1, on peut avec une autre technique.

Par exemple, 3 + 5 + 7. On prend le terme fu milleu ( 5 ) et on le multiplie par 3, donc 3 fois 5 sera égal à 3 + 5 + 7.

Également pour d'autres, par exemple : 7 + 9 + 11

[Mtoutexable]

Du coup pour les nombres pairs il suffit de prendre le nombre de termes n, et de le multiplier par n+1 (qui correspond au chiffre au milieu de l'addition). n+1 car l'addition commence par 2 et pas par 1.

Exemples : 2+4+6+8+10 = 5x6 = 30
2+4+6+8 = 4x5 = 20 (ici le chiffre du milieu est entre 4 et 6 : c'est 5).

[magnetisme-magnetiseuse]

Trop bien vos astuces pour les maths. Merci

[khaledysn]

Je ne connais pas cette somme magique, les prof de maths n'en ont jamais parlé 😅😅. Astuce fort intelligente.
Merci beaucoup.

[Fatimazahra-dq]

T'es incroyable !!!!
ما شاءالله تبارك الله عليك⁦👍🏻⁩⁦👍🏻⁩⁦👍🏻⁩⁦👍🏻⁩⁦👍🏻⁩⁦👍🏻⁩

[AmineDk]

Pas mal !!! C’est démontrable, ou est-ce une conjecture ? Si c’est démontrable, il faudrait en dédier une vidéo 😅👍

[hillalramon]

Merci professeur, vous meritez tout le succès !👍

[williamolivie]

J'avais oublié le résultat, mais je l'avais eu en exo en prepa

[franckimercier]

Hello et encore merci pour ta vidéo !! J'adore ton style😊
Je rentre de Bavière (Munich) et on a visité le musée des sciences avec mes filles.
Il y a une belle démonstration géométrique.
1 -> carré de côté 1 contenant 1 seul carré
1+3 -> carré de côté 2, composé de 4 carrés, surface=2^2=4
1+3+5, on a 9 carrés on forme un grand de côté 3, surface 3^2=9
1+3+5+7 on a 16 carrés, on forme un carré de côté 4, etc.... Pas évident à comprendre sans dessiner, mais c'est sympa😊

[TaiJiQuanChen]

Ah oui, et ça marche aussi avec les suite de nombres paires en faisant : nxn-n.
Par exemple : 2+4+6+8+10 = 6X6 - 6 = 30.
Ou encore : 2+4+6+8+10+12 = 7X7 -7 = 42.
(7 étant le terme intermédiaire entre 6 et 8).

[oumaimaboutaba]

des solutions magnifiques . bravo prof

[zakiyoumoumouni]

Tu sais aussi que le carré d'un nombre N est tout simplement la Somme du carré de son précédent et du (N-1)ième nombre impaire👍

[priscilliamawukogadosseh]

C'est la relation entre les termes consécutif d'une suites géométrique