Частные производные высших порядков. Тема

Почему частных производных первого порядка у функции двух переменных две штуки, частных производных второго порядка — три штуки, третьего — четыре и так далее.

--------------------------------

Когда мы дифференцируем обычную функцию одной переменной, мы получаем одну производную. Когда же мы дифференцируем функцию двух переменных, так вообще нельзя ставить вопрос: что такое ее производная? Определены лишь частные производные функции двух переменных и их две штуки, по той или иной переменной.

Далее, частная производная — это снова функция двух переменных, и ее снова можно дифференцировать. При этом снова получаются две частные производные. И с этой точки зрения частных производных второго порядка у функции двух переменных четыре штуки. Формально это так. Но две смешанные производные по разноименным переменным, как правило, равны между собой. Поэтому, по сути, частных производных второго порядка три, а не четыре штуки.

И так далее.

При повешении порядка частной производной число различных частных производных растет. Вам следует уметь вычислять частные производные высших порядков, так как в дальнейшем этот прием используется при исследовании функций двух переменных.

--------------------------------

Просмотрите видео по теме «Частные производные высших порядков», затем перейдите к вопросам по теме «Частные производные высших порядков» и попробуйте самостоятельно вычислить частные производные высших порядков данных вам функций. После этого проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Частные производные высших порядков».

--------------------------------

Частные производные высших порядков. Тема

Частные производные высших порядков. Вопросы

Частные производные высших порядков. Ответы

--------------------------

Чтобы подробнее ознакомиться с темой «Частные производные высших порядков», перейдите на сайт проекта «Матан».

[eney]

Можно обобщить.
Количество производных N порядка = N + 1:

f^N{x^0, y^N-0}; f^N{x^1, y^N-1}; ... ; f^N{x^N, y^N-N},

если частные производные по х и y - непрерывные функции в точке дифференцирования. Иначе количество производных N порядка = 2N.

[alizhanbolathanov]

ручка стала главной визитной карточкой этого канала))

[jalomic]

А геометрический/физический смысл второй производной по x, и дальше по y. Я понимаю вот первая производная - скорость, а вторая - ускорение, а т.е. в случае X X вторая производная ясна, а вот по xy не понятно.

[АнатолийБезразницы]

почему во второй производной не суммируются, пусть и равные, (F'x)'y и (F'y)'x ?