СЕКРЕТНЫЙ СПОСОБ. Знают лишь избранные!

Внутри угла А в 60 градусов взята точка М с расстояниями от сторон угла 3 и 6. Найти расстояние от М до А.

[SB-]

И снова неожиданно помогает аналитическая геометрия! Точка С - начало координат. Координаты точек : М(0, 6), А(а, 0). Уравнение прямой АВ : y = √3∙(x – а). Расстояние
от точки М до прямой АВ ( знак −, так как точка М находится ниже прямой АВ) : 3 = − ( 6+√3∙а)/√(1+3) ⟹а = -4∙√3. Искомое расстояние : AM = √(36+48) = 2∙√21.

[leonidrozenblum]

Предлагаю еще один способ (вроде в комментариях его нет). Также как и в видео, сначала находим отрезок ВС (по теореме косинусов). Далее поставим точку О на середине гипотенузы АМ к двум треугольникам. Очевидно, что это будет центр описанной окружности вокруг четырехугольника АВМС. А теперь еще раз применим теорему косинусов, но уже к равнобедренному треугольнику ВОС. В нем угол ВОС =120 (как центральный, он в два раза больше вписанного угла А = 60). Обозначая х = ОВ, получим уравнение: BC² = x² + x² – 2x∙x∙cos120. Отсюда легко находится х =√21 и окончательно получаем АМ = 2x=2√21.

[Extremal]

Добрый день. Спасибо за 2 способа. Я решил совсем иначе, думаю, что можно назвать 3 способом. Идея следующая: я склеил 3 угла по 60 градусов в развёрнутый 180 градусов таким образом, чтобы вершины при склеивании образовали пятиугольник. В пятиугольнике провёл диагональ отсекающая 2 треугольника с углом по 120 градусов. Воспользовавшись два раза теоремой косинусов нашёл искомый отрезок, равный 2 корень из 21.

[mikhailkadomtsev]

Вроде как, все совсем просто, отрезок длины 6 тянешь выше точки М. Получится, после пересечения с верхней прямой, угол в 30 градусов. Продолжение будет равно 6-и, полный катет- 12, второй - АС, следовательно, будет в корень из трех меньшим, т.е. 4-и корня из трех. Далее- теорема Пифагора для треугольника АМС- 36 плюс 48 и квадратный корень из этой суммы. Корень из 84-х. Посмотрел ролик, вроде как, мой способ- самый простой.

[СтаниславСерегин-рч]

Решал через горизонтальное проецирование верхней точки красного отрезка на наклонную чёрную. Она состоит из двух кусков 6/sin60 и 3/tg60. Затем красная вычисляется по теореме Пифагора. 2*корень(21). В процессе вычисления возникало выражение как в теореме косинусов: корень(3^2 + 2*3*6*cos60 + 6^2). Это длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров. Каков её геометрический смысл задумываться не стал.

[newtime]

Применяя только теорему Пифагора. На исходном рисунке, сохраняя все обозначения, : опустить перпендикуляр из т.B на AC (на AC основание перпендикуляра точка D). Из точки M провести отрезок до перпендикуляра AD (до точки E), параллельно AC. Тогда в треугольнике ABD: угол ABD =30, AD=AB/2, угол BME=30, ED=6, BE=1.5. BD=6+1.5=15/2, AB^2-(AB/2)^2=BD^2, 3/4(AB)^2=225/4;В треугольнике ABM AB^2=225/3; X=√(AB^2+9), X=√(225/3+9)=√84=2*√21.

[TUHAN]

Добрый вечер! Как видно угол СМВ=120, тогда СМ продолжаем до пересечения с АВ, получаем прямоугольный треугольник АСД, где угол Д=30, тк. угол А=60, следовательно ДМ=6, т.к. сторона ВМ=3 и она напротив 30 граусов, далее, СД=12 и чрез тангенс известного угла А=60 находим катет АС=12/на крень из 3, далее, по теореме Пифагора находим из треугольника АМС, АМ= корень из 74, а это 8, 6-приблизительно 9

[dmitry-ievdllz]

В таких задачах прямоугольные треугольники "делают свое дело":
<BAM = a;
AM = 3/sin(a);
<CAM = 60-a;
AM = 6/sin(60-a);
3/sin(a) = 6/sin(60-a);
sin(a)/3 = sin(60-a)/6;
sin(60-a) = 2*sin(a);
sin(60)*cos(-a) + cos(60)*sin(-a) = 2*sin(a);
0.5*sqrt(3)*cos(a) - 0.5*sin(a) = 2*sin(a);
sqrt(3)*cos(a) = 5*sin(a);
tg(a) = sqrt(3)/5;
AB = 3/tg(a) = 5*sqrt(3);
AM = sqrt(75+9) = sqrt(84) = 2*sqrt(21).

[glebdavletbaev]

Вроде моего решения в комментариях не видел. ))) Проведем через М прямую параллельную АВ, а через С прямую параллельную ВМ, точку пересечения второй прямой с АВ обозначим С1. Сразу понятно что длинна СС1 6 см. Отсюда АС = 2√3*2=4√3 и далее по теореме Пифагора в ∆ АМС находим диагональ АМ = √84=2√21.
Извините, что подробно не расписал, но надеюсь понятно.

[SB-]

А если угол и расстояния произвольные, то есть решение и в общем виде. Если обозначить : tgα = t, CM = c, BM = b, то
с помощью той же аналитической геометрии нетрудно получить конечную формулу : AM = √{c^2 + [(c + b∙√(t^2+1))/t]^2}. По просьбе автора sinα = 0.7⟹tgα =7/√51,
c=6, b=3. Тогда получим : АМ = √{6^2 + [(6 + 3∙√((tg70°)^2+1))/tg70°]^2}= 8.056... Но это уже частности.

[СофьяФедорова-ър]

Можно решить проще: продлить МС до пересечения с продолжением АВ пусть в точке Д.
Тогда из треугольника ВМД в нем угол Д равен 30 градусов, значит МД равно 6, тогда СД РАВНО 12.
Тогда из треугольника АСД находим АС по теореме Пифагора, зная, что АС равно половине АД:
АС= корень из 48.
Из треугольника АМС находим Х по теореме Пифагора = корень из 84.

[viktorviktor]

Отлично! Оба способа хороши! Сам решил другим способом. Провел биссектрису угла А, она пересекла ВК в некоторой точке Р. Там рассматривал треугольники... Долго и муторно но ответ тот же.

[ДмитрийСуворкин-гъ]

Еще один способ - достроить угол до равностороннего трегольника так, чтобы третья сторона проходила через М. Дальше очевидно - углы по 30 градусов и один Пифагор в конце. Первое, что пришло в голову. В принципе похоже на второй способ.

[tufoed]

Способ, навеянный аналитической геометрией. Сначала хотел честно перейти в другую систему координат, не ортонормированную, но оказалось можно проще:
Проведем через точку M две прямые, параллельные AB и AC соответственно. Получится параллелограмм, у которого стороны можно выразить через отрезки BM, BC и угол A (в данном случае они будут равны 2sqrt(3) и 4sqrt(3)). Теперь осталось посчитать диагональ параллелограмма (да, как раз по теореме косинусов). Получится sqrt(12+48-2*3*8*(-0.5)) = sqrt(84).

[pojuellavid]

Продолжил перпендикуляры до пересечения с вторыми сторонами угла А. И работал вторым авторским способом, только через другой треугольник. Фактически я искал медиану треугольника с углами 30;60;90 на больший катет.

[Andrej_rybak]

Благодарю. Ура, я тоже решил 2м способом.

[sv]

Посылал комментарий перед этим, но обнаружил там ошибку.Поэтому пишу еще раз.
Проводим из точки М горизонталь до пересечения с АВ в точке К. Из точки К опускаем на АС перпендикуляр КР.
Получаем подобные прямоугольные ∆ АКР и ∆ КМВ и прямоугольник РКМС.
КР = МС = 6
< ВКМ = < КАР = 60°
АВ = АК + КВ = КР/sin60° + BM/tg60° = 6*2/√3 + 3/√3 = 5√3.
Из ∆ АВМ по т. Пифагора находим АМ² = АВ² + ВМ² = (5√3)² + 3² = 84
АМ = √84 = 2√21

[adept]

Извините, ничего секретного не обнаружил. После построения чертежа решение становится наглядным и очевидным: т. М - на пересечении прямых, // сторонам угла на заданных от них расстояниях.
МК // АВ, МЕ // АС. МЕ = АК = 3/(√3/2) = 2√3. КС = 6/√3 = 2√3. АМ² = 6² + [(2√3) + (2√3)]² = 84.
АМ = 2√21.
Почитал комменты. Странно, но такого решения не нашёл.

[tsaiis]

Красивая задача. АВ и СМ -- до пересечения в тчк Д. Пусть АВ=х, АС=у. Угол Д=30, сл-но, МД=СМ=6, ВД=3\/3, отсюда:
х+3\/3=2у
x^2+9=y^2+36. х=5\/3, у=4\/3, АМ=2\/21

[ТамараПорфирьева-ьн]

Пусть /_АМС =Ф, тогда /_МАС = 60°- Ф
3/sinФ = 6/sin(60-Ф), откуда по формуле синуса суммы получим уравнение, а разделив его cosФ получим tgФ = \/3 / 5, т.е АВ = 5\/3. Далее по т. Пифагора АМ = \/84. Извините, программа моего планшета не даёт всех желаемых символов.