Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древних

Чтобы понять, как древние могли прийти к составлению и решению квадратных уравнений, рассмотрим старинную задачу: даны площадь и периметр прямоугольника, найдите его стороны.

[Vladislavrus]

Требуем ещё ролики по математическим приемам древних! Это очень здорово помогает проникнуться детям смыслом и практической пользой математики

[braingamesru]

Андрей, здорово, что Вы начали делать ролики по этой теме. Ждем подробный разбор бинома Ньютона :) спасибо

[Alexander--]

Есть такой интересный способ нахождения чисел по их сумме и произведению.
У нас есть две формулы сокращённого умножения:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Вычитаем из первой формулы вторую:
(а + b)² - (a - b)² = 4ab.
Сумма известна, произведение известно. Значит, мы можем найти квадрат разности, а потом саму разность. А найти числа по их сумме и разности не составляет труда. Отсюда и получается та самая формула корней квадратного уравнения через дискриминант.
Заметим ещё, что если нам вместо суммы чисел дана их разность, то всё так же, зная ещё и произведение, находим сумму. И всё та же задача о нахождении чисел по их сумме и разности.
Если же вместо суммы и разности вводить полусумму и полуразность, просто разделив последнюю формулу на 4, то вычисления будут проще, поскольку числа получаются мгновенно: как, соответственно, сумма и разность полученных полусуммы и полуразности.
Отсюда геометрический метод решения задачи такой. Берём прямоугольник с неизвестными сторонами a и b площадью 312 и отрезаем от него квадрат с короткой стороной (пусть это будет b). Его площадь b². Оставшийся прямоугольник имеет стороны b и (a - b)/2 Режем его пополам вдоль стороны b и одну из половинок прикладываем к другой стороне большого прямоугольника, другую оставляем на месте. Получается фигура, смежные стороны которой равны по b + (a - b)/2 = (a + b)/2, недостающий промежуток заполняется квадратом со стороной (a - b)/2. Эту сторону легко найти. Она равна 14/2 = 7. Полученный большой квадрат состоит из малого квадрата площадью 7² = 49 и фигуры, полученной из исходного прямоугольника площадью 312 путём перестановки его частей. Значит, площадь большого квадрата равна 312 + 49 = 361, а сторона - 19. Это полусумма искомых чисел. Значит сами числа равны 19 - 7 и 19 + 7, т.е. 12 и 26.

[superpacmaniac]

Кажется нашёл то, что искал. Большое спасибо!

[igorkamshitskiy]

Жаль, что таких преподавателей катастрофически мало.

[ЮрийОшеров-ьб]

Да и формулы не стоит никогда запоминать, по возможности только выводить. Что и делаем с сыном. А геометрия, геометрическая алгебра-супер! Спасибо Андрей.

[Aleks_Alekseev]

Замечательный ролик! По образцу, конечно, решил.

[canniballissimo]

ваше уравнение - просто вызов для меня!

[VASOKAZAK]

Мне 37. Я наконец-то понял зачем я это проходил в школе). Спасибо! Сыну покажу!

[One-androgyne]

12 и 26 я решил немного по другому, 14 разделил на два, а 312 на четыре, и 78 разложил как произведение 13 умноженое на шесть, а потом обратно умножил 6 на два получилось 12, и 13 на два будет 26. Ответ 12 и 26. Спасибо большое, хорошая задачка для гимнастики ума.

[ОлегБогомолов-пз]

Абсолютно верно! Надо сначала преподавать историю математики и тогда школьнику будет понятна суть и это возбудит в нем постоянный интерес к науке.

[АлексейСаламатов-чз]

Это геометрический смысл теоремы Виета.

[fhtagnfhtagn]

a-b=14
ab=312

a=s+7
b=s-7
s2=312+49=361
s=19

a=19+7=26
b=19-7=12

[yevgeniyshawyer]

Допустим это квадрат со стороной S
А если разница между сторонами равна 14 тогда значит
(S-7)(S+7)=312
S^2-49=312
S^2=361
S=19
Подставляем 19 вместо S и получаем две стороны 12 и 26

[mike-stpr]

Но всё-таки: какая самая первая (самая простая) инженерная (реальная) задача потребовала применения квадратного уравнения?

[constantin]

В школе, возможно, стоило бы изучать историю математики, как факультатив. Интересно все-таки знать, как развивалась человеческая мысль.(многое становится на свои места)
С другой стороны детей жалко. Огромное число накопленных знаний, непонятно, как это все свести воедино. Как расставить приоритеты большой вопрос?

[skeleton_man]

8:52 как Вы получили, что площадь равна 112?

[TurboGamasek]

хорошо, что не алгебраическая геометрия

[sibedir]

GetAClass - просто древняя математика )

[xREX]

Чот я рисовал... рисовал... рисовал... и не вырисовал :)

UPD: вырисовал. не то рисовал просто :)