Thomaths 7a : Topologie élémentaire

Dans cette vidéo niveau licence, on vous propose une introduction à la topologie, l'étude des formes globales.
Nous allons aborder :
0:00 Intro
00:53 Transformations topologiques
3:40 Notions de base (voisinage, ouvert, fermé)
7:05 Espaces topologiques et exemples
11:39 Continuité
14:16 Compacité

Petite précision : à 14'40 il est dit que "la notion de fermé est invariante par transformation topologique, et la notion de borné l'est aussi". Le sens précis est qu'une partie fermée de R^n reste fermée sous un homéomorphisme de R^n (vers lui-même), et de même pour une partie bornée.
Par contre une partie bornée de R^n peut être homéomorphe à une partie non-bornée. Par exemple l'intervalle ouvert ]0.1[ est homéomorphe à R tout entier.

Pour aller plus loin :

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Les images proviennent de wikimedia commons ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.

[mOii]

Tu mérites d'être connu par tous les étudiants en maths qui travaillent sur la topologie. Je n'avais jamais vu d'explications claires en 3 ans. Chapeau

[plOdadon]

Tres clair avec ces bons petits schémas. Merci bcp !

[josueetsesfunnyvideo]

Y a pas de mots pour décrire la reconnaissance que j'ai envers vous pour cette vidéo.
Merci Infiniment.

[nicolaslecoq]

Vous avez enchanté ma matinée. Merci bcp.

[abdoulkarimkaba]

félicitation monsieur, les notions sont maintenant clair dans ma tête.

[samyhocine]

Excellentes séries de cours, supers pédagogiques. Simples à comprendre malgré la difficulté des sujets abordés.

Merci beaucoup :)

[valentinroussel]

Merci pour ton travail. Des vidéos très sympas 👍👍

[jdzsf]

Il aurait fallu que mon prof de maths en maths sup m'ait expliqué ça. Parce que moi, la topologie, j'y comprenais que dalle. Justement parce que je ne voyais pas à quoi ça correspondait. Il nous a présenté ça à la Bourbaki avec des ouverts, union et intersection d'ouverts, comme tu le fais à un moment de la vidéo. Imbitable. J'ai mis des dizaines d'années à comprendre et je ne suis pas sûr encore maintenant d'en maîtriser les notions.

[kolanidenis]

mec je t admire vraiment quelle éloquence fluide

[elhabtielidrissinajib]

Vraiment vous avez bien saisi cette notion. Je vous félicite et merci infiniment

[azizx]

Video INCRYOABLE!!!! MERCI BEAUCOUUUPP

[rizgoureux]

C'est vraiment super sympa ! Je suis en fin de L2 Maths (et je suis très curieux), et je trouve que vous expliquez bien, en tout cas je comprends et c'est top de pouvoir avoir des bases sur des futurs cours que j'aurai ! Merci beaucoup ! Continuez comme ça, j'adore !

[mohamedelmatal]

tous simplement j'ai compris bien
merci infiniment

[lahceen]

comme etudiant en maroc j'ai jamais vue une explication pareille merici infiniment

[alexvernes]

« Il aurait fallu que mon prof de maths en maths sup m'ait expliqué ça. Parce que moi, la topologie, j'y comprenais que dalle. Justement parce que je ne voyais pas à quoi ça correspondait. Il nous a présenté ça à la Bourbaki avec des ouverts, union et intersection d'ouverts, comme tu le fais à un moment de la vidéo. Imbitable. J'ai mis des dizaines d'années à comprendre et je ne suis pas sûr encore maintenant d'en maîtriser les notions. »

A lire ce commentaire, visiblement Bourbaki fait toujours des ravages. Bourbaki est très français (la Chine et les USA ont des approches très différentes), et comme tel a les défauts des Français : élitisme, accent mis sur la complétude théorique (Thom s’érigeait là contre), dissociation artificielle entre mathématique et physique.

Je me suis libéré de Bourbaki et sais désormais comment il me convient d’apprendre selon des idées que je développais depuis l’adolescence. Il est en effet totalement artificiel – et pédant, et politiquement biaisé – de prétendre comme Bourbaki que l’abstrait commande le concret. C’est en réalité tout l’inverse, mais on nous présente le film à l’envers. On fait comme si les mathématiciens avaient sorti de leur chapeau la théorie, qui au miracle, trouve des application réelle. C’est tout l’inverse. L’idée est de reléguer Platon, et de partir au contraire du souci que rencontre le mathématicien à l’aube d’ajouter sa pierre à l’édifice. Ainsi les notions de développent Thomas prennent racine dans la description de la trajectoire d’une toute petite région au sein d’un fluide. Il faut le comprendre littéralement puisqu’au début de ces recherches, l’objet d’étude est une fine lame d’huile plus ou moins chauffée, de quelques molécules duquel dont on étudiait le comportement. Certaines trajectoires étaient régulières ou divergeait après un certain temps. D’où des études sur le comportement asymptotique de ces trajectoires. Partant de cette pratique, on a développé des instruments théoriques comme la section de Poincaré par exemple. Mais j’y insiste : Thalès et Pythagore ont d’abord formalisé le savoir nécessaire à l’arpenteur pour des raisons fiscales et politiques (mauvais récolte et pas de stock= révolution), et ainsi ouvert la voie vers les coniques et Euler (je la fais très courte). Ils ne sont pas partis de la théorie pour pondre une pratique, comme l’affirme les vieux darons de Bourbaki. Il y a derrière les deux approches (Platonicienne ou aristotélicienne) des visions très différentes du monde et notamment de la causalité, la première toute plongée dans le réductionnisme newtonien, l’autre baignée de complexité, ce maître mot du XXe siècle. Ces tensions se retrouvent sur la scène politique (Pouyané vs Jouzel) et notamment dans toutes les questions touchant au climat. Penser dans les baskets du mathématicien auteur de tel ou tel concept, se poser les mêmes problèmes qui furent les siens à l’origine d’idées nouvelles, voilà une approche historique (le mathématicien vit dans le monde réel, qui influe sur ses préoccupations) et pragmatique à mon sens plus féconde que l’abstraction ex-post de Bourbaki. Ainsi certaines notions très vaporeuses deviennent subitement terre à terre, pratiques et lumineuses. la continuité ou le temps/fréquence, ce dernier terme paraissant parfaitement incongru alors qu’il devient transparent si l’on comprend qu’il s’agit bien de temps dans les dispositifs expérimentaux, de même que la continuité désigne des portions d’espace telles que leurs dynamiques soient un temps comparables. Problème pour Bourbaki : on introduit des notions floues (suffisamment proche, un temps comparable), flou qui tend, contre Bourbaki, à rapprocher physique et mathématique. Ceux qui ont lu le cours de Feynman comprendront bien en comment physique et mathématique entretiennent des rapports pas toujours idéaux.

[Ovoui]

merci grace a toi j'ai peut etre ma l3 chacal

[ericventalon]

La topologie et l analyse objet en informatique sont proches. Remarque le sql est issu de la topologie. Vos cours sont d une clartés impressionnante c est vraiment agréable. C est la base de la théorie des nœuds ?

[mohamedelmatal]

dans le definition de la continuité vous avez utilisé l'inverse de f, donc il faut que f soit dés le départ surjective pour qu'on ait le droit d'en parler

[mohamedelmatal]

dans la minute 17:23 l'ouvert que vous avez ajouté ne convient pas car il n'est pas une partie de [0, 1]

[nolann]

Bonjour, merci beaucoup pour cette vidéo très claire, j'ai cependant une question sur la démonstration du fait que toute image par une application continue d'un compact soit un compact :
Vous dite que f(K) admet un recouvrement (potentiellement infini) par des ouvert, ensuite on utilise le fait que l'application reciproque f^-1 conserve les ouverts pour dire que K est recouvert par des ouverts, et que puisque c'est un compact seul un nombre fini d'entre eux sont nécessaires (jusque là tout va bien), cependant pour revenir à f(K) vous appliquez f à chaque ouvert recouvrant K, or vous avez dit que l'image d'un ouvert par une application continue n'est pas forcément un ouvert, donc le recouvrement fini de f(K) ne fait pas forcement intervenir que des ouverts, et on ne peut pas conclure que c'est un compact.
Si vous pouviez m'aider à saisir cette partie du raisonnement, ça m'aiderait beaucoup, bonne journée !