RÉSOUDRE 1/x + 1/y = 1/10

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Nouvelle équation inédite avec des nombres entiers strictement positifs :
1/x + 1/y = 1/10
Trouveras-tu toutes les solutions ?

[samueldarre]

vous avez une façon tout à fait ludique et communcative de faire aimer les maths même aux plus réfractaires comme moi qui pourtant doivent
se remettre dedans pour préparer un concours, j'aimerais avoir un prof particulier comme vous pour m'aider, bravo pour ce que vous faites

[alexismalafosse]

Je n'aurais pas imaginé qu'il y ait 9 couples de solutions à cette équation. Brillant !! Très bien expliqué en plus.

[Don-heckmanElucien-mfxu]

Je suis Haïtien, avec ton aide et avec ta capacité après quelque temps je serai un grand enseignant en math🙌👌

[michelbernard]

Si ça peut intéresser quelqu'un voici ma solution analytique, sans astuce :
je passe les détails et j'exprime y en fonction de x :
y=10*x/(x-10)
Par division euclidienne 10x=(x-10)*10+100 il vient
y=10 +100/(x-10), or y doit être entier donc x-10 doit être un diviseur de 100
100=(2^2)*(5^2). il y a donc 9 diviseurs de 100 : (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100)
donc 9 solutions,
pour la première x-10=1 d'où x=11 y=110
pour la seconde x-10=2 d'où x=12 y=60
pour la troisième x-10=4 d'où x=14 y= 35 etc..
Note : lorsqu'un nombre se décompose en a^b*c^d le nombre de diviseurs est (b+1)*(d+1)

[godfellas]

C'est un bonheur de voir vos vidéos ...bravo..et surtout ne vs arrêtez pas

[zelkaflore]

Vous pourriez aussi décomposer 100 en produit de facteurs premiers pour observer tous ses diviseurs et enlever le risque d'en oublier👍🏾

[noedeverchere]

Formidables explications. Tout le monde adorerait vous avoir comme professeur. Vos méthodes sont compréhensibles et claires expliquées sur un ton amical et proche. J'adore ! Je suis en prépa et ça m'aurait bien aidé d'avoir un tel prof au lycée ! Continuez de sortir de telles vidéos svp.

[Acssiohm]

Excellente vidéo, j'aimerais par contre pointer du doigt une petite erreur de rigueur, en effet, on avait certes que x et y sont strictement positifs, mais rien nous dit que x-10 et y-10 le sont, donc il aurait fallu considérer les produits de négatifs ( -10 * -10 = 100 ..etc ), et voir que dans tout ces cas là, on avait x ou y négatif ( donc au final, pas de solution supplémentaire, mais on l'avait pas montré avant )

Une autre méthode aurait été de dire que 1/x > 0, donc 1/10 = 1/x + 1/y > 1/y donc y > 10, ainsi on a bien que y-10 > 0 aussi

[steevemcqueen]

vous etes le big boss des maths et je trouve votre exuberence d'explication touchante mille fois merci

[cainabel]

Petite critique gentille : de @1:00 à @2:00 tu ne fais que mettre en dénominateur commun en fait, en deux étapes; ensuite tu décomposes (x+y) à @2:19 et tu passes tout à gauche au final pour arriver @2:27 à la forme "clean" (genre polynôme):
x*y - 10*x - 10*x = 0

Du coup pourquoi ne pas plutôt :
- tout mettre d'un coté pour avoir une forme propre truchmuche = 0
- d'un seul coup, mettre ça avec un dénominateur commun qui sera donc directement 10*x*y

- enlever la fraction pour le garder que le numérateur
- arriver donc à 10*x + 10*y - x*y = 0

On dirait que j'ergote vu qu'on arrive au même point (enfin à l'opposé près) par un chemin analogue.
Mais alors pourquoi je préfère ça? Parce que c'est nettement plus méthodique :
- une équation va toujours s'écrire sous la forme machin = 0 (sauf si on voit immédiatement la voie de sortie)
- les fractions dégagent
- une fraction = 0 => le numérateur = 0

Je veux dire qu'il y a moins d'étapes de doute (doute sur le bon chemin), c'est plus algorithmique, donc mieux pour reformuler les problèmes quand il y a plusieurs fractions.
Dès qu'il y a plein de fractions qui n'ont pas de simplification évidente c'est la meilleure méthode selon moi.

[abdennaceurboughalleb]

plus simple 1/x + 1/y =1/10 équivaut x y -10 y = 10 x ou bien y(x - 10 ) = 10 x autrement y= 10 x / (x - 10 ) x et y positifs avec x et y supérieur ou égal a 11 pas de solution pour x = 10 enfin avec mon respect simplement on fixe une valeur de x et en conséquence on trouve la valeur correspondante a y simple équation y = f(x) NB: le nombre de solution est infini sur un domaine de x [11 ; + infini [ la condition que x et y soient des entiers ( surtout pour y ) nous ramène a une méthodologie anti - mathématique . merci pour votre attention

[theodricassurbanipalcremb]

Merci encore. Enseignant en histoire en collège, je n'ai de cesse de regarder tes vidéos. Rapide et pédagogique, tu insistes bien sur les réflexes à avoir notamment la factorisation et autres. Merci de nouveau.

[guydorian]

Merci pour ta chaîne.

Je suis maintenant à la retraite mais j'ai eu 18/20 au bac scientifique. J'ai toujours aimé les maths, je faisais des maths en cours de philo !
A chaque fois j'essaie de réfléchir à tes problèmes .
Là je suis resté bloqué sur le 10(x+y)=x.y. J'ai essayé de développer comme toi mais ça ne donnait rien. Je n'ai pas pensé à la double factorisation !

Tu as réussi à rendre vivants les cours de maths. Bravo !!!

[jim]

Use the formula. If 1/a + 1/b = 1/c and a, b, and c are positive integers, then
1/(c + 1) + 1/(c + 1)(c) = 1/c
1/(10 + 1) + 1/(10 + 1)(10) = 1/10
1/11 + 1/110 = 1/10
(Note: the commutative property obviously applies to the LHS.)

[lilindenil]

T'es formidable ❤ Merci. Tu présentes les maths comme un jeux. T'es un génie. Salut champion 🎉

[tanukitsuneko]

Il manque la vérification pour les valeurs négatives de x-10 et y-10 (x et y sont strictement positifs... pas x-10 et y-10), mais on s'aperçoit rapidement qu'elles ne sont pas possibles, car ça imposerait, à chaque fois, que x ou y soit négatif (ou, dans le cas -10x(-10), que x et y soient nuls, ce que l'énoncé exclut).

[lechaiku]

Let's make a generalization to such mathematical question.
For such problem
1/x + 1/y = 1/n
where n is a prime number there are 3 solutions.
The FORMULAS for solutions:
1. (x, y) = (n(n+1), n+1)
2. (x, y) = ((n+1), (n(n+1))
3. (x, y) = (2n, 2n)

Only three solution, because the square of a prime number (n^2) has three pairs of factors (three pairs of divisors):
1) 1 * n^2
2) n^2 * 1
3) n * n
there are 3 solutions ----> (prime number)^2
Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) (exponent +1)

If n is an even numbers there are much more solutions (it depends of an amount of divisors of n^2, and what they are like).

Ex: if n = 6; n^2 = 36
there are 9 solutions ----> 36 = 2*2*3*3 = 2^2 * 3^2
Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 (exponent +1) * (exponent +1)

Ex: if n = 8; n^2 = 64
there are 7 solutions ----> 64 = 2*2*2*2*2*2 = 2^6
Amount of divisors = amount of solutions = (6+1) = 7 (exponent +1)

Ex: if n = 10; n^2 = 100
there are 9 solutions ----> 100 = 2*2*5*5 = 2^2 * 5^2
Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 (exponent +1) * (exponent +1)

If n is an odd numbers (but not a prime) there are much more solutions (it depends of an amount of divisors of n^2, and what they are like).

Ex: if n = 9; n^2 = 81
there are 5 solutions ----> 81 = 3*3*3*3 = 3^4
Amount of divisors = amount of solutions = (4+1) = 5 (exponent +1)

Ex: if n = 15; n^2 = 225
there are 9 solutions ----> 225 = 3*3*5*5 = 3^2 * 5^2
Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) (2+1) = 9 (exponent +1) * (exponent +1)

Ex: if n = 25; n^2 = 625
there are 5 solutions ----> 625 = 5*5*5*5 = 5^4
Amount of divisors = amount of solutions = (4+1) = 9 (exponent +1) * (exponent +1)

The FORMULA for factors:
(x - n)(y - n) = n^2

[DjilyFall-usuz]

Vous avez vraiment un don de nous détendre et nous faire aimer les maths ❤ merci !

[nickelbriand]

Liste des solutions données par la fonction python/sagemath ( ou n importe quel module python donnant la liste des diviseurs d un nombre :
Fonnction affichant la liste des solutions de 1/x +1/y = 1/n . n donné par l utilisateur

def

for i in divisors(n^2):
if i > n : break
j = n^2/i
a = 1/(i + n)
b = 1/(j + n )
c = a+b
print (f"{a} + {b} = {c} " )


Output
1/11 + 1/110 = 1/10
1/12 + 1/60 = 1/10
1/14 + 1/35 = 1/10
1/15 + 1/30 = 1/10
1/20 + 1/20 = 1/10

On peut remarquer aussi que pour n premier, on n a que deux solutions : 1/2p + 1/2p = 1/p ; 1/p +1/(p^2+p) = 1/ p

[KahlieNiven]

Résolu de la même manière sur la première partie, en aboutissant à [y = 10x/(x-10)], mais en utilisant (x=20;y=20) comme point pivot (solution évidente) et 20>= y > 10 ; x > 10 car impossibillité technique sinon (on peut intervertir les limites sur x et y si x= 10y/(y-10) ).
Donc 9 cas à tester: x:11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 et y devant rester entier
11 -> 110
12 -> 60
13 -> pas entier
14 -> 35
15 ->30
16-> pas entier
17-> pas entier
18-> pas entier
19-> pas entier
puis inclure les symétriques (x et y intervertis)
-> 4 couples, leurs symetriques, et (20 ; 20)

PS: la manière est assez "sale", mais se fait de tête, sans papier ni tableau.